2025人教B版高中数学必修第四册强化练习题（含解析）--专题强化练6　空间角的有关计算

中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学必修第四册 专题强化练6　空间角的有关计算 1.(2022山东青岛胶州期末)如图,圆锥的轴截面为等边三角形ABC,D为的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC和DE所成角的余弦值为(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 2.(多选题)(2022湖北黄石期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是(　　) A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PBM B.异面直线AD与PB所成的角为90° C.二面角P-BC-A的大小为45° D.BD⊥平面PAC 3.(多选题)(2023湖南怀化期末)如图,已知二面角α-l-β的棱l上有A,B两点,C∈α,AC⊥l,D∈β,BD⊥l,若AC=AB=BD=2,CD=2,则(　　) A.直线AB与CD所成的角为45° B.二面角α-l-β的大小为60° C.三棱锥A-BCD的体积为2 D.直线CD与平面β所成角的正弦值为 4.(2022河北衡水第十四中学期末)如图,已知二面角A-BC-D,AB=2,BC=2,CD=,AD=,且AB⊥BC,CD⊥BC,则二面角A-BC-D的余弦值为　　　　. 5.(2024重庆高考模拟调研卷)在如图所示的四棱锥P-ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,CD=2AB,△PAB是正三角形,点M在侧棱PB上,且PD∥平面AMC. (1)证明:PM=2BM; (2)若侧面PAB⊥底面ABCD,CM与底面ABCD所成角的正切值为,求二面角P-AC-B的余弦值. 答案与分层梯度式解析 1.C　设等边三角形ABC的边长为2,AB的中点为O,连接OC,OD,OE,如图所示, 因为E是BC的中点,所以OE∥AC,OE=AC=1, 则∠OED(或其补角)是异面直线AC和DE所成的角, 因为D为的中点,所以OD⊥AB, 又OC⊥OD,OC∩AB=O,OC,AB 平面ABC, 所以OD⊥平面ABC,又OE 平面ABC, 所以OD⊥OE, 在Rt△ODE中,cos∠OED===. 故选C. 2.ABC　如图,取AD的中点M,连接PM,BM,BD, ∵侧面PAD为正三角形,∴PM⊥AD, 又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°, ∴△ABD是等边三角形, 又M为AD的中点,∴BM⊥AD, 又PM∩BM=M,PM,BM 平面PBM, ∴AD⊥平面PBM,故A中说法正确. ∵AD⊥平面PBM,PB 平面PBM, ∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B中说法正确. ∵AD⊥平面PBM,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM, 又PB,BM 平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM, 又平面PBC∩平面ABCD=BC, ∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角, 设AB=1,则BM=,PM=,在Rt△PBM中, tan∠PBM==1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C中说法正确. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM 平面PAD,PM⊥AD, 所以PM⊥平面ABCD, 又BD 平面ABCD,所以PM⊥BD. 连接AC,假设BD⊥平面PAC,则有BD⊥PA, 又PM∩PA=P,PM,PA 平面PAD, 所以BD⊥平面PAD,又AD 平面PAD,所以BD⊥AD, 而由题可知,BD与AD的夹角为60°,矛盾,故假设不成立,故D中说法错误.故选ABC. 3.ABD　如图,在β内作DE∥AB,AE∥BD,AE与DE交于点E, 则∠CDE(或其补角)即为直线AB与CD所成的角, 因为BD⊥l,AB=BD=2,所以AE⊥AB,ED⊥BD, 故四边形AEDB为正方形,所以DE⊥AE, 又AC⊥l,所以DE⊥AC, 又AC∩AE=A,AC,AE 平面ACE, 所以DE⊥平面ACE, 又CE 平面ACE,所以DE⊥CE, 又CD=2,DE=AB=2,所以cos∠CDE==, 因为0°<∠CDE<90°,所以∠CDE=45°,故A正确; 因为AC⊥AB,EA⊥AB, 所以∠CAE为二面角α-l-β的平面角, 由以上分析可知CE===2,AE=BD=2,又AC=2,所以△ACE为正三角形, 所以∠CAE=60°,故B正确; 因为DE⊥平面ACE,DE 平面AEDB,所以平面ACE⊥平面AEDB,且平面ACE∩平面AEDB=AE,故作CH⊥AE,垂足为H, 则CH⊥平面AEDB,且CH=ACsin 60°=, 所以VA-BCD=VC-ABD=S△ABD·CH=××2×2×=,故C错误; 连接DH,因为CH⊥平面AEDB,所以∠CDH为直线CD与平面β所成的角,在Rt△CHD中,sin∠CDH===,故D正确. 故选ABD. 4.答案　 解析　如图,过点B作BE∥CD,过点D作DE∥BC,且BE∩DE=E,易知四边形BCDE为矩形, ∴BE=CD=,BE⊥BC, 又AB⊥BC,AB∩BE=B,AB,BE 平面ABE, ∴BC⊥平面ABE ... ...