中小学教育资源及组卷应用平台 2025人教B版高中数学必修第四册 专题强化练1 正弦定理、余弦定理的综合应用 1.(2024辽宁辽阳期中)在△ABC中,已知a,b,c分别为角A,B,C的对边.若+=3cos C,且cos(A-B)=-,则cos C=( ) A.- B. C. D.或- 2.(2024福建福州期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2,b2+c2-a2=bc,若BC边上的中线AD=,则△ABC外接圆的面积是 ( ) A.4π B.8π C.12π D.16π 3.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若2S=3(bsin C+csin B),则下列命题中错误的是( ) A.若A=,且b=7,则B有两解 B.若C=2A,且△ABC为锐角三角形,则c的取值范围为(6,6) C.若A=2C,且sin B=2sin C,则△ABC外接圆的半径为2 D.若b=2c,则S的最大值为6 4.(2024广西南宁模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且∠BAC=,AD平分∠BAC,交BC于点D,AD=1,则△ABC的面积的最小值为 ;若a=2,则△ABC的面积为 . 5.( 2023广东东莞第七高级中学月考)如图所示,有一块三角形的空地,∠ABC=,BC=4千米,AB=4千米,则∠ACB= ;现要在空地中修建一个三角形的绿化区域,其三个顶点分别为B,D,E,其中D,E为AC边上的点,若∠DBE=,则BD+BE的最小值为 千米. 6.(2024山东青岛五十八中期中)在①=;②+=;③设△ABC的面积为S,且4S+3(b2-a2)=3c2这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, ,b=2. (1)若a+c=4,求△ABC的面积; (2)求△ABC周长的取值范围; (3)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.C 因为+=3cos C, 所以由余弦定理得+=3·,整理得3c2=a2+b2, 由正弦定理得3sin2C=sin2A+sin2B=+=1-(cos 2A+cos 2B) =1-[cos(A+B+A-B)+cos(A+B-A+B)] =1-cos(A+B)cos(A-B)=1+cos Ccos(A-B), 又cos(A-B)=-, 所以3sin2C=1-cos C=3-3cos2C, 解得cos C=或cos C=-, 由+=3cos C可知cos C>0,所以cos C=. 故选C. 2.A 在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC===, 又0<∠BAC<π,所以∠BAC=, 因为D是BC的中点,所以=(+), 所以=(+)2=(+2·+), 即7=(c2+2c×2×cos+22),解得c=4(负值舍去), 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=22+42-2×2×4cos=12,解得a=2(负值舍去), 设△ABC外接圆的半径为R, 则由正弦定理得2R===4,则R=2, 所以△ABC外接圆的面积S=πR2=4π. 故选A. 3.D 设△ABC外接圆的半径为R.由正弦定理得2S=3(bsin C+csin B)=6R(sin Bsin C+sin Csin B)=12Rsin Bsin C. 由S=absin C=·2Rsin A·2Rsin B·sin C=2R2sin Asin Bsin C, 可知4R2sin Asin Bsin C=12Rsin Bsin C,即Rsin A=3,从而a=2Rsin A=6. 对于A,若A=,且b=7,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即36=49+c2-7c,解得c=或c=,因为三角形的三边确定后,三角形唯一确定,所以△ABC只有两种可能.经验证,△ABC的以下两种情况均有可能:①a=6,b=7,c=,则cos B=,②a=6,b=7,c=,则cos B=-,故B有两种可能,A中命题正确. 对于B,若C=2A,且△ABC为锐角三角形,则由正弦定理得c===2acos A=12cos A,因为△ABC为锐角三角形,所以2A<,B=π-A-C=π-3A<,解得
6,所以S>6,D中命题错误. 故选D. 4.答案 ; 解析 由已知可得S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即bcsin=c·A ... ... 
