3.2.2 函数的单调性 教学设计

《函数的单调性》教学设计 教学目标： （一）知识与能力 学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够： 1.理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义 2.会根据函数的图像判断函数的单调性 3.能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数 （二）过程与方法 1.培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力 2.学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养 （三）情感、态度与价值观 1.通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯 2.通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心 教学重难点：函数单调性的定义及单调性判断和证明 教学过程： 一、复习回顾，新课引入 1.函数与映射的定义。 2.函数的常用表示方法 3.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ( y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 ) ①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ 4．作出下列函数的图象： （1）y=x ； (2)y=x2 ； 二、师生互动，新课讲解： 观察函数y=x与y=x2的图象，当x逐渐增大时，y的变化情况如何？ 可观察到的图象特征： （1）函数的图象由左至右是上升的； （2）函数的图象在轴左侧是下降的，在轴右侧是上升的；也就是图象在区间上，随着的增大，相应的随着减小，在区间上，随着的增大，相应的也随着增大． 归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同．函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映 1．如何用函数解析式描述“随着的增大，相应的随着减小”，“随着的增大，相应的也随着增大”？ 在区间上任取x1,x2，函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系？如何用数学符号语言来描述这种关系呢？ 对于函数，经过师生讨论得出：在区间上，任取两个，当时，有．这时，我们就说函数在区间上是增函数． 课堂练习 请你仿照刚才的描述，说明函数在区间上是减函数． 2．增函数和减函数的定义 设函数的定义域为： （1）如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数（increasing function）．区间D叫做函数的增区间。 （2）请你仿照增函数的定义给出函数在区间上是减函数的定义． 如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数（decreasing function）．区间D叫做函数的减区间。 3．对定义要点分析 问：（1）你能分析一下增函数定义的要点吗？ （2）你能分析一下减函数定义的要点吗？ 引导学生分析增（减）函数定义的数学表述，体会定义中“区间上的任意两个自变量都有…”的含义． 例题选讲： 例1：（课本P29例1）图2-10是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出x=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数． 解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中 y=f(x)在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2， 1)，[3， 5]上是增函数． 变式训练1：如图为2008年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天24小时内的气温变化图（24时与0时气温相同为32C），观察这张气温变化图： 问：该图形是否为函数图象？定义域是什么？ 问：如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢？ 例2 证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数． 证明：设x1，x2 是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2)． 由x1＜x2，得x1-x2＜0， 于是 f(x1)-f( ... ...