第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题） 一、知识点归纳 1、定义法 在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角. 2、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直. 具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角： ①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明） ②第二垂：在平面中，过点作,垂足为 ③第三垂：连接（解答题需证明） 3、射影面积法（） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小. 4、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 题型01利用定义法求二面角（定值） 【典例1】（2023·全国·高一专题练习）假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体． (1)求二面角的正切值的大小； (2)求二面角的正切值的大小． 【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，二面角的大小是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·高一单元测试）如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 题型02利用三垂线法求二面角（定值） 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____. 【典例2】（2023·高一课时练习）已知正方体的棱长为1． (1)求异面直线与AC所成角的大小； (2)求二面角的余弦值． 【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值_____． 【变式2】（2023·上海·模拟预测）直四棱柱，，，，， (1)求证：； (2)若四棱柱体积为36，求二面角大小的正切值 题型03利用面积投影法求二面角（定值） 【典例1】（2023·全国·高二假期作业）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_____. 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体的底面是边长为1的正方形，侧棱，过作平面分别交棱，于，，则四边形面积的最小值为_____. 【变式1】（2023秋·高二课时练习）的边在平面内，在内的射影是，设的面积为，它和平面所成的一个二面角的大小为（为锐角），则的面积是_____． 【变式2】（2023·全国·高一专题练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____． 题型04利用向量法求二面角（定值） 【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，二面角的大小为，是中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【典例2】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为45°，底面为直角梯形，，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【典例3】（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在正四棱锥中，，过点向平面作垂线，垂足为. (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值. 【变式1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别为线段，的中点，连接，延长并与的延长线交于点，连接，. (1)求证： ... ...
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