6.1 幂函数 教学设计

《幂函数》教学设计 学习目标： 通过具体实例，能抽象出幂函数的定义，会画五个幂函数的图象，能归纳出它们的性质； 通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容和方法； 通过对幂函数性质的证明，提升代数推理的能力，培养数学运算和数学推理的素养； 学习重点：幂函数的定义，画五个幂函数的图象； 学习难点：归纳幂函数的性质； 教学过程： 新课导入： 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质，本节我们利用这些知识研究一类新的函数。 问题1：请看下面几个例子： 如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜kg，那么她需要支付元，这里是的函数; （2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数; （3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积,这里是的函数; （4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是 的函数; （5）如果某人内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数。 观察这五个函数的解析式，从解析式的结构特征看，它们有什么共同特征？ 解析式具有幂的形式； 幂的底数为自变量，指数是常数 设计意图：通过实例使学生自然进入新知识的学习探索，并启发学生初步认识幂函数。 幂函数的概念：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。 你能根据幂函数概念举出一些幂函数的例子吗？ 如：，，…… 幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也有各自的含义，这些会在后面学习。 对于幂函数，我们只研究时的图象与性质。 问题2：结合初中学习一次函数，二次函数及反比例函数的经验及前面学习的函数知识，思考研究一类函数的一般路径是什么？ 设计意图：引导学生进一步梳理研究一类函数的一般路径。为下来研究幂函数提供研究方向。 问题3：关于这五个幂函数，，，我们熟悉的，在同一个坐标系画它们的图象并总结它们的性质。 学生画图并完成表格 设计意图：引导学生从熟悉的图象入手，探究作图的一般思路。 问题4：如何画出和的图象？ 观察这两个函数的解析式，你能先说出它们的一些性质吗？ 的定义域，奇偶性 的定义域，奇偶性 设计意图：引导学生结合函数的定义域和奇偶性，描点作图。 问题5：观察函数和的图象结合函数解析式，将你发现的结论写在下表内。 学生画图并完成表格内容，教师再借助几何画板，展示五个幂函数图象。 设计意图：引导学生由幂函数的图象，总结归纳幂函数的性质； 问题6，观察函数图象结合表格，总结它们具有哪些共同性质？有哪些不同性质？ 注意：可以从以下角度观察： （1）图象分布的区域，公共点； （2）函数的对称性； （3）函数的变化趋势； 共同点： ①图象都过（1，1） ②奇偶不同：，，是奇函数 是偶函数，非奇非偶。 ③单调性不同：在区间上，函数，，，单调递增。单调递减。 ④在第一象限内，函数的图象向上与轴无限接近，向右与轴无限接近。 小组讨论，学生展示。 设计意图：学生进一步理解幂函数的图象和性质。 问题7：你能从代数角度证明是增函数吗？ 证明：函数的定义域是 ，且有 因为 所以，即幂函数是增函数。 学生演板展示 设计意图：通过观察得到的结论是从形的角度进行直观判断，还需要从代数的角度严格的证明。 归纳总结： ... ...