2024-2025学年江苏省南通市海安市高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数，则实数( ) A. B. C. D. 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 3.在中，，，则( ) A. B. C. D. 4.函数的极大值为( ) A. B. C. D. 5.在三棱锥中，，与平面所成角的大小为，则( ) A. B. C. D. 6.曲线与的交点中，与轴最近的点的横坐标为( ) A. B. C. D. 7.在 中，，，，若，则( ) A. B. C. D. 8.在正四棱柱中，，是线段上靠近的三等分点，过点与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在空间中，设，，是三条直线，，，是三个平面，则下列能推出的是( ) A. ， B. ，， C. ，，， D. ，，， 10.已知函数，则( ) A. 的最大值为 B. 是曲线的对称中心 C. 在上单调递减 D. 的最小正周期为 11.设为上的增函数，满足：，，则( ) A. B. 为奇函数 C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数的一个单调减区间为，则 ， ． 13.在平面直角坐标系中，曲线上的两点，满足，线段的中点在轴上，则点的横坐标为_____． 14.已知圆的半径为，点，在圆上，点在圆内，且，则的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知，，分别为的内角，，的对边，且． 求； 若的面积为，周长为，试判断的形状． 16.本小题分 设抛物线：的焦点为，准线为，点在上，记在上的射影为． 能否为正三角形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由； 设在点处的切线与相交于点，证明：． 17.本小题分 如图，在三棱锥中，平面，是的中点，平面平面，且． 求点到平面的距离； 求平面与平面的夹角的正弦值． 18.本小题分 已知函数，其中． 若曲线在点处的切线过原点，求； 当时，证明：； 若在上单调递增，求的取值范围． 19.本小题分 如果数列，，，，是首项为，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被整除，那么称数列，，，，是数列． 写出所有满足的数列； 证明：存在数列是等比数列，且有无穷个； 对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列， 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：由已知及正弦定理， 可得， 又，所以， 则上式可化为， 又中，，则， 则上式可化为，即， 又，则， 故； 由，可得， 又由，可得， 则可化为， 整理得， 又由，则， 可化为，解得， 则由，解得， 则的形状为等边三角形． 16.解：能使为正三角形． 设，因为，那么． 又根据题意可得：的准线为：，焦点为， 那么在上的射影为要使三角形为正三角形， 那么应满足中点纵坐标为，且． 所以，所以当或时， 能使三角形为正三角形； 证明：根据题意可得满足． 又因为， 所以点处的切线斜率为：，所以相应切线为：． 代入，可将切线方程化简为： 设，可得又因为，， 所以， 解得，又因为，所以． 17.解：如图，作于点， 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 在中，， 所以点到平面的距离为． 由，平面，平面，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，，所以平面， 又，，所以， 如图，以点为坐标原点，过点垂直于的为轴，，分别为，轴的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，则，即， 令，则，， 所以， 又平面，且， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以． 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 18.解：函数的导数为， 可得曲线在点处的切线斜率为， 切点为， 由切线过原点，可得， 解得． 证明：若，则， 构建， ... ...
