2024-2025学年福建省福州市福清市高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.命题：“，”的否定是( ) A. ， B. ， C. ，使得 D. ，使得 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 3.不等式的解集是( ) A. B. C. D. 4.“”是“函数是上的增函数”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为( ) A. B. C. D. 6.下列函数中与函数相等的函数是( ) A. B. C. D. 7.命题“，”为真命题，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.图中阴影部分用集合表示正确的是( ) A. B. C. D. 10.若，，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 11.已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则的最大值为_____． 13.，则 _____． 14.已知函数，则 _____用含的式子表示；若在定义域上是减函数，则的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，，， 若，求实数的值． 请写出所有满足的集合． 16.本小题分 已知，． 比较与的大小； 若，求的最小值． 17.本小题分 已知，，，表示，的最小者，记为． 请在如图所示的坐标系中作出函数的图象，并写出解析式； 请判断函数的单调性，并说明单调区间及值域无需说明理由； 若，求实数的取值范围． 18.本小题分 设． 求证：； 证明：为奇函数； 试判断在上的单调性，并说明理由． 19.本小题分 若一个集合仅有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”例如就是一个元“完美集”，这是因为． 请再写出一个不同于的元“完美集”无需写出求解过程； 求证：对任意一个元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于； 是否存在某个元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的元“完美集”；若不存在，说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：集合， 当时，，符合题意， 当时，， 因为， 所以或， 解得或， 综上所述，实数的值为或或； ， 所以， 所以，，，，，，． 16.解：因为，． 所以， 所以； 若，则，当且仅当时取等号， 所以， 故的最小值为． 17.解：因为，， 由题意可得， 图象如图所示： 由图象知，函数的单调递减区间为，无单调递增区间，且值域为； 因为， 由函数在上单调递减，所以，即， 解得：或， 所以实数的取值范围为或． 18.证明：因为， 所以； 证明：因为， 所以， 故为奇函数； 解：在上的单调递增，证明如下： 任取， 所以，， 则， 所以， 所以在上单调递增． 19.解：答案不唯一，满足均可； 证明：由题，设元“完美集”为，其中，且，， 则， 由得，，， 因为，所以； 假设为元“完美集”，且，，， 所以， 则，又，， 所以或，即或，这与矛盾， 故不存在满足题意的元“完美集”． 第1页，共1页 ... ...
