2024-2025学年山东师大附中高一（上）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若命题“，使得”是假命题，则实数的范围为( ) A. B. C. D. ，或 3.已知函数的图象如图所示，则的大致图象是( ) A. B. C. D. 4.已知幂函数的图像与坐标轴没有公共点，则( ) A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( ) A. B. C. D. 6.函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.已知正数，满足，则的最小值是( ) A. B. C. D. 8.已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若，则的解集是( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.若集合，，满足，则( ) A. B. C. D. 10.若，则下列不等式中不成立的是( ) A. B. C. D. 11.取一条长度为的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集某数学小组类比拓扑学中的康托尔三等分集，定义了区间上的函数，规定其具有以下性质：任意，；；，则关于该函数下列说法正确的是( ) A. 在上单调递增 B. 的图象关于点对称 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知是定义在上的奇函数，时，，则时，_____． 13.已知两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是_____． 14.高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数”其中表示不超过的最大整数，例如，，现有函数，如果该函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 计算化简下列各式： 化简：； 若其中，分别求出与的值； 化简：． 16.本小题分 已知函数． 若不等式恒成立，求的取值范围； 解不等式． 17.本小题分 如图，在周长为的矩形中其中，现将沿折叠到，设与交于点，设． 求证：的周长为定值； 试用表示的长，并求的取值范围； 当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值． 18.本小题分 已知函数是定义域为的奇函数． 求出的解析式； 判断在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明该结论； 解不等式． 19.本小题分 设，，若函数定义域内的任意一个都满足，则函数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内的任意一个都满足已知函数． Ⅰ证明：函数的图象关于点对称； Ⅱ已知函数的图象关于点对称，当时，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：原式 ； 因为，所以； 因为，且，所以，， 所以； 原式 ． 16.解：函数， 因为不等式恒成立， 即不等式恒成立， 当时，不等式即为，显然不成立，舍去； 当时，要使得恒成立， 则满足， 即， 解得， 即的取值范围为； 由不等式，可得， 即， 若时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 若时，不等式可化为， 当时，不等式等价于，解得或， 不等式的解集为； 当时，不等式等价于， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 17. ... ...
