判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达．( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × ) (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × ) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ ) 无 题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例1 (1)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝ D．an＝ (2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝ . 答案 (1)C (2) 解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， … 第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝. ∴an＝. (2)数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝. 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法． (2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理． 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)，，－，，－，，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)数列变为，，，…， 故an＝. (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－， 原数列化为－，，－，，…， 故an＝(－1)n. 题型二 由an与Sn的关系求通项公式 例2 (1)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝ . 答案 (－2)n－1 解析 由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1. (2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式． ①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b. 解 ①a1＝S1＝2－3＝－1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5. ②a1＝S1＝3＋b， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b) ＝2·3n－1. 当b＝－1时，a1适合此等式； 当b≠－1时，a1不适合此等式． ∴当b＝－1时，an＝2·3n－1； 当b≠－1时，an＝ 思维升华 已知Sn，求an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1； (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式． (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为 ． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于( ) A．2n－1 B．()n－1 C．()n D. 答案 (1)an＝ (2)B 解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1] ＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式． 故数列的通项公式为an＝ (2)由an＋1＝Sn＋1－Sn，得Sn＝Sn＋1－Sn， 即Sn＋1＝Sn(n≥1)，又S1＝a1＝1， 所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列， 所以Sn＝()n－1，故选B. 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例3 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 解 (1)∵an＋1＝a ... ...
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