1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( × ) (2)G为a，b的等比中项 G2＝ab.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) 2、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于( ) A．－ B．－2 C．2 D. 答案 D 解析 由题意知q3＝＝，∴q＝. 3、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于( ) A．31 B．32 C．63 D．64 答案 C 解析 根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C. 4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为_____． 答案 27,81 解析 设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 5、设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝_____. 答案 －11 解析 设等比数列{an}的公比为q， ∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2， ∴＝· ＝＝＝－11. 无 题型一 等比数列基本量的运算 例1 (1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于( ) A．2 B．1 C. D. (2)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项的和，则S10－S4等于( ) A．1 008 B．2 016 C．2 032 D．4 032 答案 (1)C (2)B 解析 (1)由{an}为等比数列，得a3a5＝a， 又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)， 解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q， 则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2， 所以a2＝a1q＝.故选C. (2)由题意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝＝211－2＝2 046，S4＝＝25－2＝30， 所以S10－S4＝2 016.故选B. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 【同步练习】 (1)已知等比数列{an}的首项a1＝1，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝_____，数列{an}的前4项和S4＝_____. (2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝_____. 答案 (1)1或－ 4或 (2)3n－1 解析 (1)由a2，a4，a3成等差数列得2a1q3＝a1q＋a1q2， 即2q3＝q＋q2，解得q＝1或q＝－. 当q＝1时，S4＝4a1＝4， 当q＝－时，S4＝＝. (2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3， 可得a3＝3a2，所以公比q＝3， 故等比数列的通项an＝a1qn－1＝3n－1. 题型二 等比数列的判定与证明 例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明 由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 得a1＋a2＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴－＝， 故{}是首项为，公差为的等差数列． ∴＝＋(n－1)·＝， 故an＝(3n－1)·2n－2. 引申探究 若将例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式． 解 由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n. ∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1， ∴an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2， 又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，a2＝3， 当n＝1时上式也成立， 故{an＋1}是以2为首 ... ...
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