专项训练08　图形折叠的相关计算 学案（含答案） 2025年中考数学一轮专题复习（河北）

专项训练八　图形折叠的相关计算 类型　与折叠有关的计算常用性质 折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形. (1)线段相等:C'D=CD,BC'=BC. (2)角度相等:∠1=∠2,∠3=∠4. (3)全等关系:△BC'D≌△BCD. 折痕可看作垂直平分线(对应点之间的连线被折痕垂直平分). 折痕可看作角平分线(对称线段所在的直线与折痕的夹角相等). 以矩形折叠为例,列举以下几种类型: 折法一　如图,点P为矩形ABCD边AD上一点,当点P与点D重合时,沿BP将△ABP折叠至△EBP,BE交CD于点H. ① (2024·雅安)如图,把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在点E处,BE与AD交于点F,若AB=6,BC=8,则cos∠ABF的值是　　　　. 折法二　如图,点P在AD上,将△ABP沿BP折叠至△EBP,点A落在CD边的点E处. 拓展类型 图1　 图2 (点P为AD的中点)图3 ②(2024·眉山)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为 (　　) A. B. C. D. ③ (2024·石家庄二模)如图,矩形ABCD中,AD=10,CD=6,点E为射线AB上的一个动点,将△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1. (1)若点A1落在BC边上,则A1B=　　　　. (2)在点E运动过程中,A1B的最小值为　　　　. (3)若∠A1DC=30°,则线段AA1的长为　　　　. 折法三　如图,矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,沿EF将四边形AEFB折叠至A'EFB'后,B'落在AD上. ④ 如图,小雨要用一个长方形纸片ABCD折叠一个小兔子,第一步沿OG折叠,使点B落到CD边上的点B'处,若∠GB'C'=35°,则∠BOG= (　　) A.65° B.62.5° C.55° D.52.5° 折法四　如图,矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,沿EF将四边形ABFE折叠至A'B'FE后,点B'落在CD上. 拓展类型 ⑤ (2024·威海)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折,使点C落在AB上的点C'处,折痕为MN,点D落在点D'处,C'D'交AD于点E.若BM=3,BC'=4,AC'=3,则DN=　　　　. ⑥ 如图,已知正方形ABCD的边长为1,点E,F分别在边AD,BC上,将正方形沿着EF翻折,点B恰好落在CD边上的点B'处,如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为3∶5,那么线段FC的长为　　　　. 【详解答案】 对应练习 1.　解析:由折叠的性质,得∠DBC=∠DBF. ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, ∴∠ADB=∠DBC, ∴∠DBF=∠ADB, ∴BF=DF, ∴AF=AD-DF=8-BF, 在Rt△ABF中,AB2+AF2=BF2, ∴62+(8-BF)2=BF2, 解得BF=, ∴cos∠ABF=. 2.A　解析:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC=8,∠B=∠C=∠D=90°, ∴∠CEF+∠EFC=90°. ∵把△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处, ∴AF=AD=8,∠AFE=∠D=90°, ∴∠AFB+∠EFC=90°, ∴∠CEF=∠BFA. ∵AB=6,AF=8, ∴BF==2, ∴cos∠CEF=cos∠AFB=. 故选A. 3.(1)2　(2)2-10　(3)10或10 解析:(1)设A1B=x,则A1C=10-x,∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,∴∠DAB=∠DA1E=∠C=90°,AD=A1D=10,∴102=62+(10-x)2,解得x=2或x=18(舍去). ∴A1B=2. (2)∵AD=A1D=10,∴点A1在以D为圆心,以10为半径的圆上,∴当D,A1,B共线时,A1B取得最小值.∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,∴BD==2,∴A1B最小值为2-10. (3)如图,当点A1在射线DC下方时,∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1, ∴∠ADC=90°,AD=A1D=10.∵∠A1DC=30°, ∴∠A1DA=60°,∴△A1DA是等边三角形,∴AA1=AD=A1D=10. 当点A'1在射线DC上方时,∵矩形ABCD中,AD=10,CD=6,△ADE沿DE翻折,点A的对应点为A'1,∴∠ADC=90°,AD=A'1D=10,∵∠A'1DC=30°,∴∠A'1DA=120°,∴∠DA'1A=∠DAA'1=30°,过点D作DE1⊥AA'1于点E1, ∴DE1=AD=5,AE1=A'1E1,∴AE1==5,∴AA'1=2AE1=10. 4.B　解析:根据折叠可知,∠OB'C'=∠B=90°, ∵∠GB'C'=35°,∴∠OB'G=55°. ∵AB∥CD,∴∠B'OB=180°-55°=125°. 由折叠可知,∠BOG=∠B'OB=62.5°.故选B. 5.　解析:在Rt△C'BM 中 ... ...