3.2.1 函数的单调性与最值 课程标准 学习目标 （1）掌握函数单调性的概念; （1）借助函数图象, 会用符号语言表达函数的 （2） 会利用函数的单调性概念证明函数的单调性； 单调性、最大值、最小值, 理解它们的作用和 （3）会判断函数的单调性； 实际意义。 （4）会求函数的最值.（难点) 知识点 01 函数的单调性 (1)增函数和减函数 一般地，设函数 = ( )的定义域为 ，区间 ∈ : 如果 1 , 2 ∈ ，当 1 < 2时，都有 ( 1) < ( 2)，那么就说 ( )在区间 上单调递增(左图).特别地，当函 数 ( )在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果 1 , 2 ∈ ，当 1 < 2时，都有 ( 1) > ( 2)，那么就说 ( )在区间 上单调递减(右图).特别地，当函 数 ( )在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 注 ① = 1 在(0, + ∞)上单调递减，但它不是减函数. ② 1 , 2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的 1 , 2有三个特征：一是任意性，即任意取 1 , 2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定 1 < 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． (2) 单调性 如果函数 = ( )在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 = ( )在这一区间具有(严格的)单调性．区 间 叫做函数 = ( )的单调区间． 注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分. ② = 1, 为有理数 有的函数无单调性．如函数 0, ，它的定义域是( ― ∞, + ∞)，但无单调性可言．为无理数 2 单调性概念的拓展 ① 若 = ( )递增， 2 > 1，则 ( 2) > ( 1). ② 若 = ( )递增， ( 2) ≥ ( 1)，则 2 ≥ 1. = ( )递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取 1 , 2 ∈ ，且 1 < 2； (2) 作差 ( 1) ― ( 2)； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差 ( 1)－ ( 2)的正负)； (5) 下结论(指出函数 ( )在给定的区间 上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数 = 增函数，减函数+减函数 = 减函数； 但增函数 × 增函数不一定是增函数，比如 = ， = ― 2均是增函数，而 = ( ― 2)不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果 = ( )( ∈ ) , = ( )( ∈ ) , 则 = [ ( )] = ( )( ∈ )称为 、 的复合函数； = 1比如： ( ) 2+ ( ( ) = 1 和 ( ) = 2 + 的复合函数)； ( ) = 1 ― 2 ( ( ) = 和 ( ) = 1 ― 2 的复合函数)； 1 ( ) = 2 ( ( ) = 2 和 ( ) = 1 的复合函数). (2) 同增异减 设函数 = ( )( ∈ )的值域是 ，函数 = ( )( ∈ ) ， 若 = ( ), = ( )在各自区间单调性相同，则复合函数 = [ ( )]在区间 上递增； 若 = ( ) , = ( )在各自区间单调性不同，则复合函数 = [ ( )]在区间 上递减. 【即学即练 1】 函数 ( ) = 1― 在（ ） A．( ― ∞,1) ∪ (1, + ∞)上是增函数 B．( ― ∞,1) ∪ (1, + ∞)上是减函数 C．( ― ∞,1)和(1, + ∞)上是增函数 D．( ― ∞,1)和(1, + ∞)上是减函数 【答案】C 【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. ― ( ) = = ― = ― 1― ―1 1 1【详解】 1― 1― 1― = ― 1 ― = ―1，1― 1― 函数的定义域为( ― ∞,1) ∪ (1, + ∞)， 其图象如下： 由图象可得函数在( ― ∞,1)和(1, + ∞)上是增函数. 故选：C 知识点 02 函数的最值 一般地，设函数 = ( )的定义域为 ，如果存在实数 满足： (1) ∈ ，都有 ( ) ≤ ；(2) 0 ∈ ，使得 ( 0) = ； 那么，我们称 是函数 = ( )的最大值.(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值. 【即学即练 2】 已知max{ , } = , ≥ 2 , < ，设 ( ) = max{ ― 4 ― 2, ― + 2}，则函数 ( )的最小值是（ ） A．－2 B．－1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，将问题转化为分段函数的 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
