第5章 指数函数与对数函数（知识考点）-【中职专用】高中数学单元复习讲与测（高教版2021基础模块上册）

知识点一：根式、分数指数幂及其运算 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1.这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 知识点二：指数函数及其图像和性质 1．定义： 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2．指数函数的图象及性质 时图象 时图象 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤时， 时， ⑤时， 时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 知识点三：对数及其运算 1．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. (3)对数与指数之间的关系 当a＞0，a≠1时，ax＝N x＝logaN. (4)对数运算的性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝. 知识点四：对数函数及其图像和性质 1．定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2．对数函数的图象与性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，， 当时， 当时，， 当时， 考点一 根式、分数指数幂及其运算 1．化简：（1）（）； （2）； （3）. 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）因为，所以，所以； （2）； （4）. 2．计算：（1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）5（2）（3） 【解析】（1）；（2）；（3）；（4）. 3．用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）（2）；（3）； 4． 化简下列各式（，，，）： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）. 【解析】（1）；（2）；（3）； （4）. 考点二 指数函数及其图像和性质 5．函数，，，，其中指数函数的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为形如的函数称为指数函数，所以和是指数函数，故选：B． 6．函数是指数函数，则（ ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得，故选：C 7．已知函数和都是指数函数，则_____. 【答案】 【解析】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，所以，所以. 8．已知函数是指数函数，且，则_____. 【答案】 【解析】设（且），则，得，故，因此，. 9．若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是 ... ...