第8章 排列组合（知识考点）-【中职专用】高中数学单元复习讲与测（高教版2021·拓展模块一下册）

知识点一：计数原理 1． 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 基本形式 一般形式 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案， 在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n种不同的方法． 完成一件事有n类不同方案， 在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， …， 在第n类方案中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤， 做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法， 那么完成这件事共 有N＝m×n种不同的方法． 完成一件事需要n个步骤， 做第1步有m1种不同的方法， 做第2步有m2种不同的方法， …， 做第n步有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 注意：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法种数． 它们的区别在于： 分类加法计数原理与分类有关，各方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理与分步有关，各步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成． 2． 应用两个原理解题的一般思路 注意：(1)明白要完成的事情是什么； (2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系； (3) 有无特殊条件的限制； (4) 检验是否有重复或遗漏． 知识点二：排列与组合 1．排列与排列数 (1) 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2) 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示． (3) 排列数公式的两种形式 ① P＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. ②P＝. (4) 全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为P＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 2．组合及组合数的定义 (1)组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2) 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示． (3) 排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数P间存在的关系:P＝CP (4) 组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. (5) 组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 知识点三：二项式定理 1．二项式定理 (1)定义 一般地，对于任意正整数，都有：. 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数 (2) 二项式的展开式的特点： ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ② 二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； ③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为； (3)二项展开式的通顶公式 公式特点：① 它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是； ②字母的次数和组合数的上标相同； 2．二顶式系数及其性质 (1) 的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质： ①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离"的两项的二项式系数相等，即； ②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项 ... ...