第八章 课时精练17向量数量积的概念 (分值:100分) 单选题每小题5分,共25分;多选题每小题6分,共12分. 一、基础巩固 1.已知|a|=6,|b|=8,且a与b的夹角为135°,则a·b等于 ( ) -24 24 -24 24 2.已知|a|=2,|b|=,a·b=3,则a与b的夹角为 ( ) 30° 45° 60° 120° 3.已知|a|=6,|b|=6,a·b=-24,则向量a在向量b方向上的投影的数量是 ( ) -4 4 -2 2 4.(多选)下列命题是真命题的是 ( ) a·b=0 a=0或b=0 a∥b a在b上的投影数量为±|a| a⊥b a·b=(a·b)2 a·c=b·c a=b 5.在四边形ABCD中,·=0,=,则四边形ABCD是 ( ) 直角梯形 菱形 矩形 正方形 6.已知a·b=16,若a在b方向上的投影的数量为4,则|b|= . 7.已知平面上两单位向量a,b,且a·b=-,则a在b上的投影数量为 . 8.在边长为3的等边三角形ABC中,点D在BC上,且=2,则·= ,·= . 9.(10分)在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求: (1)·;(2)在上的投影的数量; (3)在上的投影的数量. 10.(10分)在等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠ABC=30°,D为BC的中点. (1)求·的值; (2)求在上的投影的数量. 二、综合运用 11.在等腰梯形ABCD中,AB=CD=2,∠ABC=∠BCD=60°,则在上的投影的数量为 ( ) - -1 1 2 12.(多选)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论中正确的有 ( ) e1在e2上的投影为cos θ e1·e2=1 = (e1+e2)⊥(e1-e2) 13.(13分)如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,点E是AB边上的动点,点F在BC上,且=2.求·,·. 三、创新拓展 14.(15分)如图,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=2DC=4.E为腰BC上的动点.求·的取值范围. 向量数量积的概念 1.C [a·b＝|a||b|cos 135°＝6×8×＝－24.] 2.A [因为|a|＝2，|b|＝，a·b＝3， 所以a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝2××cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝， 因为0°≤〈a，b〉≤180°， 所以〈a，b〉＝30°.] 3.A [根据投影的数量的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影的数量是|a|cos θ＝＝－4，故选A.] 4.BC [对于A，a·b＝0，也可得到a⊥b，故A错误； 对于B，若a∥b时〈a，b〉＝0或π，所以a在b上的投影数量为±|a|，B正确； 对于C，当a⊥b时，a·b＝0，C正确； 对于D，a·c＝b·c时，a＝b或c＝0，D错误.] 5.C [∵在四边形ABCD中，＝， ∴BC∥AD且BC＝AD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 又·＝0，∴AB⊥BC， ∴四边形ABCD为矩形.] 6.4 [∵a·b＝16， ∴|a||b|·cos〈a，b〉＝16， 又∵a在b方向上的投影的数量为4， ∴|a|cos〈a，b〉＝4，∴|b|＝4.] 7.－ [a在b上的投影数量为|a|cos θ＝＝－.] 8.3 － [ ∵＝2， ∴点D为BC上靠近点B的三等分点，如图所示. ∴||＝||＝2， ||＝||＝1， 又〈，〉＝〈，〉＝60°， 〈，〉＝〈，〉＝120°， ∴·＝||||cos 60°＝3×2×＝3. ·＝||||cos 120°＝3×1×＝－.] 9.解 ∵||＝5，||＝4，||＝3， ∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°. ∴cos A＝＝，cos B＝＝. (1)·＝||·||cos(π－B) ＝5×4×(－cos B)＝20×＝－16. (2)在上的投影的数量为||cos〈，〉＝3·cos A＝3×＝. (3)由向量数量积的几何意义及(1)知，在上的投影的数量为||·cos〈，〉＝＝＝－4. 10.解 如图所示，连接AD. 因为D为BC的中点，所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°， 所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝. 由图可知与的夹角为∠ABC的补角，所以向量与的夹角为150°. (1)·＝||||cos 150° ＝2×·cos 150°＝－3. (2)在上的投影的数量为 ||cos 150°＝cos 150°＝－. 11.B [过点A作AM∥CD且AD∥MC， 所以四边形AMCD是平行四边形， 则AM＝CD＝2，且AB＝2，∠ABC＝60°. 所以△ABM是等边三角形， 所以与所成角120°， 所以在上的投影的数量为 ||cos 120°＝2×＝－1.] 12.CD [e1在e2上的投 ... ...
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