第二章 直线和圆的方程 2.3.3点到直线的距离公式 点到直线的距离公式 1.用坐标法推导点到直线的距离公式，掌握代数运算过程，掌握公式； 2.用向量法推导点到直线的距离公式，掌握向量法分析过程和代数推导过程； 3.利用点到直线的距离公式进行计算和简单应用. 重点：掌握公式，会利用公式求解点到直线的距离，能进行简单的应用. 难点：向量法推导点到直线的距离公式. （一）创设情境 情境：假设某地区计划修建一条从村庄到公路的便捷通道，以改善村民的出行条件. 问题是：所修的便捷通道最短应有多长？ 现把该实际应用抽象为数学问题：把村庄看作一个点，把公路看作一条直线，在平面直角坐标系中，点（村庄）的坐标和直线（公路）的方程已知，求村庄到公路的最短距离，抽象为求点到直线的距离. 师生活动：教师给出实际应用，并提出问题，引导学生把实际问题转化为数学问题. 设计意图：通过生活实际应用，使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移. （二）探究新知 任务1：点到直线的距离的概念 思考：如图所示，在平面直角坐标系中，给定一个点和一条直线：，如何定义点到直线的距离？ 答：点到直线的距离就是从点到直线的垂线段的长度，其中是垂足. 师生活动：教师提出问题，引导学生认识点到直线的距离. 在此基础上，教师进一步提出问题，如何计算垂线段的长度？引导学生利用两点间距离公式计算垂线段长度. 设计意图：从概念入手，强化学生从基础概念进行推导获取结论的意识. 引导学生拆解问题，利用已有知识解决现有问题. 任务2：坐标法推导点到直线的距离公式 思路：求出的坐标，再利用两点间距离公式求出. 对于的坐标，根据直线与已知直线垂直，可以获得直线的斜率，进而获得直线的方程，由两条直线的方程，可以求得它们交点的坐标. 推导：设，. 由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，因此，垂线的方程为 解方程组，得到直线与的交点坐标，即垂足为 于是，根据两点间距离公式 因此，点到直线：的距离 思考：当或时，公式是否成立？ 答：当时，直线是一条平行于轴的直线，直线方程为，点到直线的距离. 代入公式，，公式成立. 同理，当时，公式成立. 思考：上述用坐标推导点到直线的距离公式的方法计算量巨大，引起复杂计算的原因是什么？如何简化运算？ 答：根本原因是点的坐标太复杂，导致代入两点间距离公式后运算复杂. 如果不求点的坐标，能不能求出点到直线的距离呢？ 现在设垂足的坐标为，则 思考：如何通过方程组，直接求出 答：将方程组转化为和的方程组 将①②两边分别平方后相加得 所以 所以 【公式形成】 点到直线的距离公式：在平面直角坐标系中，给定一个点和一条直线：，点到直线的距离. 注意：点到直线的距离公式应用 在使用点到直线的距离公式时，应该把直线方程化为一般式. 总结：使用坐标法推导点到直线的距离公式，从定义入手，通过求解垂足坐标，再利用两点间距离公式求解. 理解简单，但是运算量较大. 运算量主要来自两点间距离公式，可以利用设而不求的方法简化运算. 设而不求的总体思路是把点到直线的距离用一个含有所设未知数的式子表达出来，进而得到整个式子的结果，而不是式子中具体未知数的结果. 这就是设而不求的原因. 师生活动：教师提出问题，引导学生从定义入手，推导点到直线的距离公式，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解，包括直线平行于坐标轴的情况是否需要单独考虑、引起巨大计算量的原因和规避的方法. 引入设而不求这一重要思想. 同时提醒学生注意计算量的训练，较大的计算量的背后可能化简为较简单的表达式. 设计意图：逐步引导，推导公式前理清 ... ...
