3.3.1抛物线及其标准方程 教案

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念． 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程，四种不同标准方程形式的特点. 3.理解抛物线方程系数的几何意义，能解决求抛物线标准方程问题． 重点：抛物线的定义及焦点、准线的概念. 难点：的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题． （一）创设情境 情境：前面已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，这些图形都可以用数学语言来表达和研究，同样的研究过程也适用今天的内容———抛物线. 观察下图，模仿学过的圆锥曲线学习过程，我们该如何学习下图曲线？ 师生活动：教师给出两幅图案，并提出问题，引导学生对圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线知识进行回顾与思考，梳理出前面学习圆锥曲线的过程. 答：通过“定义———方程———性质———应用”四个环节学习和研究圆锥曲线. 回顾：我们知道，椭圆、双曲线的有共同的几何特征： 在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上). 一个动点M到一个定点F和一条定直线l的距离之比为常数e， 点M的轨迹是什么？ 答：当01时，轨迹是双曲线； 当e=1时，轨迹是什么形状？ 设计意图：通过烟花桥梁这些和抛物线关联的场景引出本节课的研究对象，让同学们回顾前面学习过的圆锥曲线知识和几何意义和研究过程，通过类比从而展开教学. （二）探究新知 任务1：抛物线的概念感知和理解. 思考：利用信息技术作图.如图右F是定点，l是不经过点F的定直线，H 是直线l上任意一点，过点l 作MH⊥L，线段FH 的垂直平分线m交MH于点M.施动点H，观察点M的轨迹，它是什么形状？你能发现点M 满足的几何条件吗？ 答：点M 的轨迹形状与二次函数的图象相似；点M 随着点H 运动的过程始终有|MF |=|MH |；点M与定点F 的距离等于它到定直线l 的距离. 【概念形成】 定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 思考：当直线l经过点F 时，点的轨迹是什么？ 答：过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 师生活动：教师提出问题，根据抛物线的图像特征给予引导总结出几何特征，拓展引出抛物线的定义. 设计意图：通过图像和几何特征总结感知抛物线，总结出抛物线的定义.针对定义中的前提条件，提出新问题让学生拓展思考，加深对定义的理解和记忆. 任务2：抛物线的标准方程. 思考1：我们是如何求轨迹方程的？ 答：求轨迹方程的流程：建(坐标系)；设(动点坐标)；限(限制条件，动点、已知点满足的条件)；代(动点、已知点坐标代入)；化(化简整理).注意检验. 思考2：类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出抛物线的方程？ 合作探究：请先独立思考，再小组内交流；选派代表全班展示成果；时间2分钟. 答：考虑抛物线的对称性，采用方法1建系最恰当. 具体方法如下： 根据抛物线的几何特征，如下图，我们取经过点且垂直于直线的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系. 设.那么焦点的坐标为，准线的方程为. 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为. 由抛物线的定义，抛物线是点的集合. 因为，， 所以. 将上式两边同时平方并化简，得 ① 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上. 【概念形成】 定义：我们把方程叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线. p的几何意义：焦点F到准线l的距离. 填一填： 标准方程 焦点坐标 准线方程 答：的焦点坐标为，准线方程为 ... ...