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课件网) 第一章 空间向量与立体几何 1.4 空间向量的应用 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题 （第一课时） 一 二 三 学习目标 理解点到直线、点到平面的距离公式及其推导 了解利用空间向量求点到直线、点到平面、两平行直线、直线到平面、两平行平面的距离的思想 能利用距离公式解决相关的距离问题，归纳总结解决立体几何问题的“三部曲” 学习目标 复习回顾 1. 向量的数量积 2. 投影向量 新课导入 问题1 空间中有哪些距离问题？ 空间中的距离 两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离 点到平面的距离、线到平面的距离、两平行平面间的距离 我们该如何用空间向量解决这些距离？ 接下来我们一起探究这些距离公式及推导! 空间向量的模 新知探究 问题1 已知直线l 的单位方向向量为 ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离 如图，向量 在直线l上的投影向量为 ，则△APQ是直角三角形，因为A，P都是定点，所以 与 的夹角∠PAQ都是确定的. 于是可求 再利用勾股定理，可求出点P到直线l的距离PQ. 设 ，则向量 在直线l上的投影向量 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 若直线l的法向量为 ，则点P到直线l的距离为 新知探究 问题2 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 对于两条平行直线l、m, 可在其中一条直线l上任取一点P, 则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. 若直线l、m的法向量为 ，则平行直线l、m的距离为 新知探究 问题3 如图，已知平面α外一点P，如何用空间向量求点P到平面α的距离d？ α P 已知平面α的一个法向量为 A 点 A是平面α内的一个定点,点P是平面α外一点 Q 过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q， 连结QA、PA 平面外一点到平面的距离等于连接此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值. 新知探究 问题4 类比点到平面的距离的求法，如何求直线与平面、两个平面之间的距离？ l 直线和平面间的距离： 如果一条直线l与一个平面α平行, 可在直线l上任取一点P, 将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 两个平行平面之间的距离 如果两个平面α, β互相平行, 在其中一个平面α内任取一点P, 可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. d d A A 归纳小结 直线和平面间的距离 两个平行平面之间的距离 点到平面的距离 两个平行直线之间的距离 点到直线的距离 l d A 空间中的距离 两点间的距离 P34-例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (1) 求点B到直线AC1的距离; (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 典例解析 解： P34-例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段AB的中点. (2) 求直线FC到平面AEC1的距离. x y z B A A1 B1 C1 D1 C D E F 典例解析 解： 解题提升 用向量法求平面α一个点P 到平面α的距离的步骤： (3) 利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d． (1) 求出该平面α的一个法向量 ； α A Q P d (2) 找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量 ； 解题提升 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 巩固练习 课本P35 1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 点A到平面B1C的距离等于_____； 直线DC到平面AB1的距 ... ...
