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课件网) 12.3 角的平分线性质 第十二章 全等三角形 教学目标 1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法。 2、探索并证明角的平分线的性质。 3、能利用角的平分线的性质解决简单问题。 教学重点：角的平分线的性质的证明及应用 教学难点：角平分线的性质的探究 挑战第一关 情境引入 问题1：在草稿纸上画一个角，你能用什么方法得到这个角的平分线？ 用量角器度量 也可以用折纸的方法 问题2 ：在生产生活中，这些方法可行吗？ 你能评价一下这两种方法吗？ 用平分角的仪器可以平分一个角。 如图,是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的原理吗 E 平分角的仪器 A D B C A D B C 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等 挑战第二关 用直尺和圆规作一个角的平分线 小组讨论：能否根据此仪器的原理找到用尺规作角的平分线的方法？ A B C E D 线索一：把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=AD），怎样在画图在体现呢？ 线索二：仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现呢？ M N B D C A 已知:∠MAN 求作：∠MAN的平分线. 跟着老师操作 作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于点B，交AN于点D. （2）分别以点B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. A B C E D 探究角平分线的性质 二 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？ P A O B C D E 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？ 角平分线的性质 二 动手操作 如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？ OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE） A O B C D E P 验证结论 已知：如图，∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 ° 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO ∠AOC= ∠BOC OP= OP ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 挑战第三关 巩固新知 1：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段. 哪个学生的作法正确？ 同学乙的画法是正确的． 同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求． 2.判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 3.如图, ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为 cm． 若Q是线段AB上的一个动点，则DQ的最小值是多少？ 4.如图, ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm， 则AD+DE= cm. Q 5.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,AB= ... ...
