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课件网) 第十二章 全等三角形 12.3 角的平分线的性质 第2课时 角平分线的判定 1.理解角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上（角的判定）； 2.能利用角的判定定理解决简单的几何问题。 学习目标 复习回顾 问题1：关于角平分线，你知道什么？ 问题2：角平分线性质的文字语言和几何语言？ 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言: ∵OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等). 复习回顾 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点 D，E 为垂足，PD＝PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 探究新知 证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝ 90°(垂直的定义) . 在Rt△PDO 和Rt△PEO 中 PO＝PO(公共边)， PD=PE， ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO(HL) . ∴ ∠ POD＝∠POE. ∴点P在∠AOB 的平分线上. 探究新知 结论: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言: ∵P 是∠AOB 内的一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD=PE， ∴OP 是∠AOB 的平分线 (角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上). 总结新知 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD⊥AB 于 D，PE⊥BC 于 E，PF⊥AC于 F. ∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等). 同理，PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. A B C P M N D E F 应用新知 要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处 500 米，应建在何处？（比例尺 1∶20 000） D C S 作夹角的角平分线 OC，截取 OD=2.5 cm，D 即为所求. 应用新知 1. 直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( ) A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 D 分析: 由于没有限制在何处选址，故要求的地址共有四处. 巩固新知 2. 如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上 BD=DF. 求证：CF=EB. 证明：∵AD 平分∠CAB， DE⊥AB，∠C＝ 90°（已知）， ∴CD＝DE (角的平分线的性质). 在Rt △CDF 和 Rt△EDB 中， CD=DE （已证），DF=DB （已知）， ∴ Rt△CDF ≌ Rt△EDB (HL). ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等）. 巩固新知 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点 Q 在∠AOB 的平分线上. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点 Q 在∠AOB 的平分线上． ∴ QD＝QE． 归纳小结 A B O D E Q ... ...
