《5.2.3简单复合函数的导数》教案

第五章 一元函数的导数及其应用 5.2.3简单复合函数的导数 1.了解复合函数的概念； 2.理解复合函数的求导法则，并能求简单复合函数的导数； 3.在独立思考的基础上，主动参与到数学活动中，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，增强学好数学的信心. 重点：复合函数的求导法则. 难点：复合函数的概念，分清函数的复合关系，选好中间变量. （一）复习导入 师生活动：教师提出问题，学生回顾并回答. 思考1：导数的四则运算法则是什么？ 答：一般地，对于两个函数和的和、差、积、商的导数，有如下法则： (1)； (2)； (3)； (4). 思考2：如何求函数的导数呢？ 本节课就来研究这类问题. 设计意图：回顾上节课所学的主要知识，温故知新.提出问题，开门见山，点明本节课要探究复合函数的求导问题. （二）探究新知 任务一：复合函数的概念 探究：什么是复合函数？ 师生活动：教师提出问题，引导学生探究. 思考1：函数是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的吗？ 答：基本初等函数通过加、减、乘、除运算无法得到函数. 思考2：函数的结构特点是什么，它与函数有什么不同？ 师生活动：学生观察思考、讨论、交流. 答：在函数中，其中的占据了对数函数中的位置，，，这里有代入、代换的思想；而是两个基本初等函数、之间相乘的关系，没有代入、代换的意思. 若设，则.从而可以看成是由和经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数. 如果把与的关系记作，与的关系记作，那么这个“复合”过程可表示为. 【概念的形成】教师给出复合函数的概念： 复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数,记作. 说明：通常称与分别为内、外层函数，内外层函数一般为基本初等函数. 总结：(1)函数是复合函数，其中外层函数为，内层函数为；不是复合函数. (2)判断一个函数是否为复合函数，主要看该函数是否可以表示为两个或多个基本函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等）通过有限次加、减、乘、除以及函数的复合等运算得到的结果. 思考3：函数是由哪些函数复合而成的？ 答：函数是由和复合而成. 设计意图：通过分析函数的结构特点，引入复合函数的概念，体现了由特殊到一般的思想，发展学生的数学抽象核心素养. 做一做：下列函数不可以看成是复合函数的是（ ） . 师生活动：学生观察思考、回答，教师点评. 解：选项中，函数由函数和复合而成，其中是中间变量； 选项中，函数由函数和复合而成，其中是中间变量； 选项中，函数由函数和复合而成，其中是中间变量. 设计意图：通过练习的解答，让学生加深对复合函数概念的理解，进一步弄清函数的复合关系，为接下来复合函数的求导做铺垫. 任务二：简单复合函数的求导法则 探究：如何求函数的导数呢？ 师生活动：教师提出问题，并引导学生思考、回答，然后完善、讲解. 答： . 思考：函数是由和复合而成的，如果以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数，那么与及有什么关系呢？ 师生活动：学生先求出和，然后找关系，教师完善、讲解. 答：，，又，所以. 师生活动：教师引导学生抽象出复合函数的求导法则. 总结：复合函数的求导法则： 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为. 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 设计意图：通过设置问题引导学生进行思考与探究，从而得出复合函数的求导法则，提高学生探究问题的能力，通过对复合函数求导法则的推导，发展学生的数学抽象、数学运算等核心素养. 做一做：求下列函数的导数 ； ； ； ． 师生活动：学生独立完成求导，并在小组内讨论、交流、校对答案，教师点评完善. 解：设，， 则 ，； 设，， 则． 设，， 则 ... ...