静安区2024学年度第一学期期末教学质量调研 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2024.12 一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分． 1．设集合，，则_____． 2．不等式的解集为_____． 3．已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为_____． 4．设是等差数列，，，则该数列的前8项的和的值为_____． 5．到点、距离之和为10的动点的轨迹方程为_____． 6．在△中，已知，，，则的值为_____． 7．已知物体的位移(单位：m)与时间(单位：s)满足函数关系，则该物体在 (s) 时刻的瞬时速度为_____()． 8．若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可 推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这 两个正数相等时成立”．则_____． 9．以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的 值为_____． 10．如右图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同 一幢楼上，小明家在A层，小宁家位于小明家正上方的 B层，已知．小明在家测得东方明珠塔尖的仰角 为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为， 则他俩 所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离_____． 11．记．若函数是偶函数，则该函数图像与轴 交点的纵坐标的最大值为_____． 12．已知、、、、是从大到小连续的正整数，且， 则的最小值为_____． 二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13．设，则“”是“且”的…………………………………( ) A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 14．污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料．该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物．要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为……………………………………………………………………………………( ) A．14小时； B．18小时； C．20小时； D．24小时． 15．我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”．如图是一个水平放置的△，，，．现将△沿 折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为……………………………………………………………………………………( ) A．； B．； C．； D．． 16．在四棱锥中，、，，则该四棱锥的高为 ……………………………………………………………………………………………( ) A．4； B．3； C．2； D．1． 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(满分14分) 本题共2个小题，每个小题均是满分7分． 设函数,． (1) 求函数的单调区间； (2) 求不等式的解集． 18．(满分14分) 本题共2个小题，每个小题均是满分7分． 已知向量、，且． (1) 求及； (2) 记，求函数的最小值． 19．(满分14分) 本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形． (1) 求正三棱锥的体积； (2) 设、、分别是线段、、的中点． 求证：① 平面； ② 若平面交于点，则四边形是正方形． 20．(满分18分) 本题共3个小题，每个小题均是满分6分． 如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于抛物线对称轴的线段组成．已知，抛物线的顶点到线段所在直线的距离为2． (1) 请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘； (2) 在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点在抛物线 ... ...
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