27.2.3切线 第2课时 切线长定理和三角形的内切圆 课时作业（含简单答案）2024-2025学年数学华东师大版九年级下册

3.切　线　第2课时　切线长定理和三角形的内切圆 @预习导航 1.切线长定理 切线长：圆的切线上某一点与 之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分这两条 的夹角. 常用结论：如图所示，OP⊥AB. 相似三角形：△OAP∽△ODA∽△ADP. 相等的线段：PA＝PB，OA＝OB，AD＝BD. 相等的角：∠OPA＝∠OPB，∠POA＝∠POB，∠PAB＝∠PBA，∠OAB＝∠OBA，∠OAP＝∠OBP＝∠ODA＝∠ODB＝90°. 2.三角形的内切圆、内心 定　　义：与三角形 叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形. 内　　心：三角形的 的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形 的交点. 3.三角形内心的性质 内心性质：(1)三角形内心到三边的距离相等； (2)三角形内心与顶点的连线平分三角形内角； (3)三角形内心一定在三角形的内部. 三角形的面积：已知△ABC的面积为S，内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则有S＝(a＋b＋c)r. 直角三角形内切圆半径：r＝(其中a、b为直角边长，c为斜边长). @归类探究 类型之一　切线长定理的运用 　如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，Q为上一点，过点Q作☉O的切线，分别交PA、PB于E、F两点.已知PA＝12cm，∠P＝70°.求： (1)△PEF的周长； (2)∠EOF的度数. 【点悟】 (1)当点Q在上移动时，△PEF的周长不随Q点的移动而变化.(2)求此类三角形的周长，通常利用切线长定理进行线段的等价代换. 类型之二　三角形的内切圆 　如图，☉O是△ABC的内切圆，与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，∠DEF＝45°.连结BO并延长交AC于点G，AB＝4，AG＝2.求： (1)∠A的度数； (2)☉O的半径. @当堂测评 1.如图，☉O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的(　 　) 第1题图 A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 2.[2022·长沙]如图，PA、PB是☉O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为(　 　) 第2题图 A.32° B.52° C.64° D.72° 3.[2023·嘉兴、舟山]如图，点A是☉O外一点，AB、AC分别与☉O相切于点B、C，点D在上.已知∠A＝50°，则∠D的度数是 . @分层训练 1.如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为(　 　) 第1题图 A.28° B.50° C.56° D.62° 2.如图，边长为2的等边三角形ABC的内切圆的半径为(　 　) 第2题图 A.1 B. C.2 D.2 3.如图，已知PA、PB切☉O于点A、B，C是劣弧AB上一动点，过点C作☉O的切线交PA于点M，交PB于点N.已知∠P＝56°，则∠MON的度数是(　 　) A.56° B.60° C.62° D.不可求 4.[2023·泰安]为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 cm.(精确到0.1cm；参考数据：≈1.73) 5.如图，△ABC的内切圆☉O分别与AB、AC、BC相切于点D、E、F.若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则☉O的半径等于 . 6.如图，PA和PB是☉O的切线，点A和点B是切点，AC是☉O的直径.已知∠P＝40°，求∠ACB的度数. 7.[2022·株洲]中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是：一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池(其中圆与正方形一角的两边均相切)，如图所示. 第7题图 问题：此图中，正方形的一条对角线AB与☉O相交于点M、N(点N在点M的右上方)，若AB的长度为10丈，☉O的半径为2丈，则BN的长度为 丈. 8.如图，等边三角形ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是 . ... ...