2024-2025学年北京市理工大学附属中学高二上学期12月月考 数学试卷 一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 2.已知圆:,圆:,则两圆的公共弦所在直线的方程为( ) A. B. C. D. 3.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 4.以轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为的抛物线方程是( ) A. B. C. 或 D. 或 5.“”是“直线与直线平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,定点,则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.已知椭圆,直线,则椭圆上的点到直线距离的最大值为( ) A. B. C. D. 8.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥,将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线如图所示的圆锥中,为底面圆的直径,为中点,某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线若该圆锥的高,底面半径,则该抛物线焦点到准线的距离为( ) A. B. C. D. 9.已知椭圆与双曲线有相同的焦点,离心率分别为,点为椭圆与双曲线在第一象限的公共点,且,若,则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 10.数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形少数时难入微”事实上,很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,例如,与相关的代数问题,可以转化为点与点之间距离的几何问题若曲线,且点,分别在曲线和圆:上,则,两点间的最大距离为( ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。 11.直线经过点且与直线垂直,则直线的方程是 . 12.已知点在抛物线上,则抛物线的准线方程为 . 13.双曲线的一条渐近线为,则其离心率为 . 14.过点作直线与椭圆交于两点,若线段的中点为,则直线的斜率是 . 15.造型在纺织中作为花纹得到广泛应用,这种造型被称为双纽线已知椭圆的左右焦点分别为,焦距为,若动点满足,则动点的轨迹就是一个双纽线下列说法正确的是 . 轨迹仅经过一个整点即横纵坐标都是整数的点; 若点位于椭圆上,且,则的离心率为; 点与原点之间的距离不超过; 若直线与曲线有且仅有一个公共点,则或. 三、解答题:本题共4小题,共48分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知点在圆上. 求该圆的圆心坐标及半径长; 过点,斜率为的直线与圆相交于两点,求弦的长. 17.本小题分 曲线且 若曲线表示双曲线,求的取值范围; 当,点在曲线上,且点在第一象限,,求点的横坐标. 18.本小题分 已知椭圆:的右焦点与抛物线的焦点重合,的中心与的顶点重合过且与轴垂直的直线交于,两点,交于,两点,且 求的离心率; 设是与的公共点,若,求与的标准方程. 19.本小题分 在平面直角坐标系中,已知椭圆的两个焦点为为椭圆上一动点,设,当时,面积取得最大值. 求椭圆的标准方程; 过点的直线与椭圆交于不同的两点在之间,问是否存在最值,若存在最值,请求出;若不存在,请说明理由. 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.解:点在圆:上, , 解得. 圆的方程为, 圆心坐标为,半径. 依题意,直线的方程为,即, 则圆心到直线的距离为, . 17.由曲线表示双曲线,得,解得, 所以的取值范围是. 当时,双曲线:,设点, 由,且,得, 则,整理得,又, 联立消去得,解得, 所以点的横坐标为. 18.解:为椭圆的右焦点,且垂直轴,,, 设抛物线方程为, 为抛物线的焦点,且垂直轴, ,, ,与的焦点重合, 整理得,,又因, 设的离心率为,则,解得或舍, 故椭圆的离心率为; 由知,,, :, ... ...
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