2024-2025学年山东省名校考试联盟高三（上）段考数学试卷（12月份） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合，，则( ) A. B. C. D. 2.若，，则“”是“”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数在上的最小值为( ) A. B. C. D. 4.函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 5.已知数列满足：，为正整数，若，则所有可能的取值的集合为( ) A. B. C. D. 6.已知，则的最小值为( ) A. B. C. D. 7.已知，若函数在上有且只有两个极值点，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，提出了祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线，若直线与在第一象限内与双曲线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设，，若，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 10.设，为复数，则下列结论中正确的是( ) A. 若为虚数，则也为虚数 B. 若，则的最大值为 C. D. 11.已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则( ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，则 _____． 13.在等腰直角中，已知，若，满足，，与交于点，则在上的投影向量的模为_____． 14.已知函数，若对任意的，，且，都有成立，则正实数的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知正项数列满足，且． 证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； 证明：． 16.本小题分 记的内角，，所对的边分别为，，，已知． 求； 是上的点，平分，且，，求的面积． 17.本小题分 如图，已知等腰梯形，，，，，分别为，的中点，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，点为线段上一点，且满足． 证明：平面； 设二面角的平面角为，在四边形翻折过程中，是否存在，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明理由． 18.本小题分 已知函数． 若曲线在点处的切线与轴平行，求的值； 设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形； 证明：． 19.本小题分 对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数例如，由于二元子集满足，则称为可分数． 判断和是否为可分数，并说明理由； 求小于的最大可分数； 记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.证明：正项数列满足，且， 可得， 则数列是首项为，公差为的等差数列， 可得，即有； 由， 可得． 16.解：由可得，， 所以， 即， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 又因为， 所以； 因为平分，所以， 所以， 所以， 即， 整理得， 在中，由余弦定理得， 所以， 整理得， 即， 所以， 解得或舍去， 所以． 17.证明：取的靠近点的三等分点，连接，， 因为，即点是的靠近点的三等分点， 所以，， 而，， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面． 解：在等腰梯形中，因为，分别为，的中点， 所以，， 翻折后，，， 所以就是二面角的平面角，即， 又，、平面，所以平面， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，所以，， 设， 因为，所以， 解得，，即， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 因 ... ...
