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课件网) 4.1同角三角函数的基本关系 北师大版（2019）必修第二册 第四章 三角恒等变换 学习目标 利用同角三角函数的基本关系解决sin α，cos α，tan α三者中知一求二问题，以及相关的化简与恒等式的证明. 02 通过任意角的三角函数的定义，结合图形掌握同角三角函数的基本关系 01 通过本节的学习，能把方程的思想、代数变换、分类讨论的逻辑方法融入到解题中. 03 思考：若直角三角形斜边为1，锐角 α 的对边为 sin α、邻边为 cos α，在这个直角三角中，你能得出什么关系？ sin α cos α α 1 根据勾股定理有sin2α＋cos2α＝12， 即sin2α＋cos2α＝1， 另外还有tan α＝ ． 知识回顾 我们是如何在单位圆中定义三角函数的呢？ sin ， cos 如图，角 α 的终边与单位圆交于点P(u,v)， x O M y P(u,v) 1 α x y O A(1，0) P α M 思考：观察单位圆，利用三角函数分析角 α 的正弦、余弦和正切之间存在什么关系？ y x O P (cos α,sin α) α 1 M 综上可知：sin2α＋cos2α＝1和 tanα＝ ． sin α，cos α 所以 sin2α＋cos2α＝1． 总结：至此，我们得到了同角三角函数的基本关系式 问题1 同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？ sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R 恒成立， 而tan α＝ 仅对α≠ ＋kπ（k∈Z）成立． 问题2———sin2α”的含义是什么？ sin2α 是(sin α)2的简写，读作“sin α”的平方，不能将sin2α 写成sin α2． 前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的 总结：至此，我们得到了同角三角函数的基本关系式 问题3———同角”的含义是什么？ 这里“同角”有两层含义，一是“角相同”． 如 sin23α＋cos23α＝1成立，但是 sin2α＋cos2β＝1 就不一定成立． 二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关． 思考：同角三角函数基本关系式的变形有哪些？ sin2α＋cos2α＝1 sin2α＝1－cos2α cos2α＝1－sin2α sin α＝ cos α＝ (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α． tanα＝ (α≠ ＋kπ(k∈Z)) sin α＝cos αtan α cos α＝ 使用变形公式sin α＝，cos α＝ 时，“”由 α 的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题. 例1 已知sinα＝ ，角 α 的终边在第二象限，如何求cos α与tan α的值？ 又角 α 的终边在第二象限 解： 例2 已知cosα＝ ，求sin α，tan α的值． 解： 因为，故 在第二或第三象限 当 在第二象限时， 当 在第三象限时， 例3 已知tan α＝m（m≠0），求sin α和cos α的值． 解：根据题意可得方程组 因为：，故 的终边不在坐标轴上 所以 是第一、第四象限角 是第二、第三象限角 是第一、第四象限角 是第二、第三象限角 解得： 方法总结 （1）已知tanθ求sinθ（或cos θ）常用以下方式求解． （2）当角 θ 的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题，而对角 θ分区间（象限）讨论． 例4 若已知sin α－cos α＝ ，π＜α＜ ，如何求tan α呢？ sinα－cosα＝ ＜0 ① 将①式两边平方得sin αcos α＝ ， 所以sin α＜0，cos α＜0， 又因为π＜α＜ ， 故sin α＋cos α＜0， 所以sin α＋cos α＝ ② 所以tan α＝ ． 由①＋②式得， 例5 已知tan α＝3 ，求 . 解：因为tan α＝ ， 所以cos α0， 所以 思考：本例的解法比较巧妙，并不需要求得sin α和cos α的值. 但如果题目换成求 呢？ 由tan α＝3，知 α 在第一象限或第三象限. (1)当在第一象限，得 ， 则 (2)当在第三象限，得 ， 则 方法总结 已知tan α＝m，可以求 或 的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子， ... ...
