4.5 诱导公式 教案

授课题目 4.5 诱导公式 选用教材 高等教育-出卷网-《数学》 2021 十四五 （基础模块上册）（修订版） 授课 时长 4 课时 授课 类型 新授课 教学提示 本课将从具有特殊位置关系的角出发，借助单位圆和三角函数的定义得到诱导公式，通过例题，学习诱导公式在三角函数求值与化简中的作用，以及用诱导公式求任意角的三角函数值，进行简单的化简 与证明的一般过程和常用方法． 教学目标 知道角 2k ＋α、 α、 ＋α、 －α 与角 α 的终边之间的关系，能利用这些角终边之间的关系推导它们的三角函数值的关系． 能利用诱导公式将任意角的三角函数化为 0～2π 进而化为锐角的三角函数求解；对某些三角函数值进行求值、化简及简单的证明，提升计算能力． 可以利用计算器求任意角三角函数值． 教学 重点 能运用诱导公式解决一些简单的求值、化简、证明等问题． 教学 难点 诱导公式的推导． 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 引入 在 4.3 节，为求得任意角的三角函数值，我们依据三角函数的定义，在角 α 的终边上取一点 P，通过点 P 的坐标求出任意角 α 的三角函数值．是否还有其他方法呢？ 我们可以通过诱导公式将任意角的三角 函数转换为锐角的三角函数求解． 提示点拨 回忆思考 从知识衔接角度引出新的学习内容 情境导入 1.角 2kπ＋α (k∈Z)与角α 的三角函数间的关系 角13 与角 的终边有什么关系？这两个 6 6 角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 提出问题 交流讨论 利用特殊角的终边的位置关系引出新 知 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 探索新知 如左图所示，角13 与角 的终边相同， 6 6 它们的正弦、余弦、正切的值分别对应相等，即 sin 13 sin ， 6 6 cos 13 cos ， 6 6 tan 13 tan . 6 6 一般地，如右图所示，由三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数值相等．即 sin(2k ＋α) = sinα； cos(2k ＋α) = cosα； tan(2k ＋α) = tanα ． 利用公式，可以将任意角的三角函数转 化为[0，2π)内的角的三角函数． 展示图像提出问题 展示引导 归纳 观察图像思考分析 观察思考 总结 展示角的特殊位置关系帮助学生更加直观考虑问题，数形结合考虑问题， 透直观想象核心素养 典型例题 例 1 求下列各三角函数值： （1）sin780 ；（2）cos 9 ；（3）tan ． 4 6 解（1）sin780 =sin(2×360 ＋60 )=sin60 = 3 ； 2 （2） cos 9 = cos 2 + = cos = 2 ； 4 4 4 2 （3）tan = tan 2 + = tan = 3 ． 6 6 6 3 提问引导讲解 思考分析解答 解决问题巩固新知 情境导入 2.角-α与角α 的三角函数间的关系 角 与角 的终边有什么关系？这两个角 6 6 的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 提出问题 交流讨论 从特殊角终边关系引出新知 探索新知 如左图所示，角 与角 的终边关于 6 6 x 轴对称，由三角函数的单位圆定义可得 sin sin ， 6 6 cos cos ， 6 6 tan tan . 6 6 一般地，设角 α 与角-α 的终边与单位圆的交点分别是点 P 和 P’，如右图所示，则点 P 和 P’的坐标分别为(cosα，sinα)与(cos(-α) ， sin(-α))． 因为角 α 的终边与角-α 的终边关于 x 轴对称，所以点 P 和 P’边关于 x 轴对称，因此它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即 cos(-α)=cosα，sin(-α)=-sinα． 又由同角三角函数基本关系式，有 tan(-α)= cos( α ) = -tanα. sin( α ) 于是，得 sin( α) = sinα； cos( α) = cosα； (4-2) 展示图像提出问题 展示引导 归纳 观察图像思考分析 观察思考 总结 展示角的特殊位置关系帮助学生更加直观考虑问题，数形结合考虑问题， 透直观想象核心素养 tan( α) = tanα ． 利用公式可以将负角的三角函数转化为正角的同名三角函数． 典型例题 例 2 求下列各三角函数值： （1）sin(-60 )；（2） cos ... ...