(
课件网) 8.2.1 第八章 <<< 两角和与差的余弦 1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 学习目标 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α-β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式. 导 语 一、两角和与差的余弦公式 二、给值求值 课时对点练 三、给值求角 随堂演练 内容索引 一 两角和与差的余弦公式 提示 P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β). 已知角α和角β的终边与单位圆的交点分别为P，Q，请写出点P和点Q的坐标. 问题1 提示 =cos αcos β+sin αsin β. 的坐标表示是怎样的？ 问题2 提示 〈，〉=α-β+2kπ或〈，〉=β-α+2kπ，k∈Z. 两向量与的夹角是多少？ 问题3 提示 =||·||cos〈，〉=cos(α-β). 由数量积的定义，又等于什么？ 问题4 提示 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. 对于cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β中的β换成-β，又能得到什么？ 问题5 两角和与差的余弦公式 对任意α与β，都有 Cα-β：cos(α-β)=_____. Cα+β：cos(α+β)=_____. cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角差(和)的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和(差). (3)公式的记忆口决为：两角和、差之余弦，余余正正，号相反. 注 意 点 <<< 计算下列各式的值： (1)cos； 例 1 cos=cos =cos =cos cos +sin sin =×+×=. (2)sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°)； 原式=-sin 100° sin 160°+cos 200°cos 280° =-sin 100°sin 20°-cos 20°cos 80° =-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°) =-cos 60°=-. (3)cos 75°-sin 75°. cos 75°-sin 75° =cos 60°cos 75°-sin 60°sin 75° =cos(60°+75°)=cos 135°=-cos 45° =-. 反 思 感 悟 (1)两特殊角和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解. (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和与差，然后利用两角和与差的余弦公式求解. 两角和与差的余弦公式常见题型及解法 化简下列各式： (1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°)； 跟踪训练 1 原式=cos[(θ+21°)-(θ-24°)] =cos 45°=. (2)cos 15°-sin 15°. 原式= =(cos 45°cos 15°-sin 45°sin 15°) =cos(45°+15°)=cos 60°=. 二 给值求值 已知cos α=，cos(α+β)=-，且α，β∈，求cos β的值. 例 2 ∵α，β∈，∴α+β∈(0，π). 又∵cos α=，cos(α+β)=-， ∴sin α==， sin(α+β)==. 又∵β=(α+β)-α，∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =×+×=. 本例中，若把α，β∈改为α，β∈(0，π)，求cos β的值. 延伸探究 ∵α，β∈(0，π)，∴α+β∈(0，2π)， 又cos α=，∴sin α=， ∵cos(α+β)=-，∴sin(α+β)=±， 当sin(α+β)=时，cos β=， 当sin(α+β)=-时， cos β=×+×=-. 反 思 感 悟 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有 ①α=(α-β)+β. ②α=+. ③2α=(α+β)+(α-β). ④2β=(α+β)-(α- ... ...
