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课件网) 4.1.2 第六章 <<< 直线与平面平行的综合应用 1.线面平行性质与判定定理的综合应用. 2.掌握线面平行中的探索性问题. 学习目标 一、线面平行性质与判定定理的综合应用 二、线面平行中的探索性问题 课时对点练 随堂演练 内容索引 线面平行性质与判定定理的综合应用 一 已知α∩β=l，a∥α，a∥β，求证：a∥l. 例 1 如图，过a作平面γ交平面α于b. 因为a∥α，所以a∥b， 过a作平面ε交平面β于c. 因为a∥β，所以a∥c，所以b∥c. 又b β且c β，所以b∥β. 因为b α且α∩β=l， 所以b∥l. 又a∥b，所以a∥l. 若本例中条件改为“α∩β=l，γ∩β=m，γ∩α=n，且l∥m”，试判断直线m，n的位置关系，并说明你的理由. 延伸探究 m∥n，证明如下： 如图，因为l∥m，m γ，l γ， 所以l∥γ. 又l α，α∩γ=n，所以l∥n. 所以m∥n. 判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链，如下： 线线平行 线面平行 线线平行. 线线、线面的转化 反 思 感 悟 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明. 跟踪训练 1 直线l∥平面PAC，证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC. 又EF 平面ABC，且AC 平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l， 所以EF∥l. 因为l 平面PAC，EF 平面PAC， 所以l∥平面PAC. 二 线面平行中的探索性问题 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论. 例 2 存在.证明如下： 如图，取线段AB的中点为M， 连接A1M，MC，A1C，AC1， 设O为A1C，AC1的交点. 由已知得，O为AC1的中点， 连接MD，OE，OM， 则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以MD∥AC且MD=AC，OE∥AC且OE=AC， 因此MD∥OE且MD=OE. 从而四边形MDEO为平行四边形， 则DE∥MO. 因为直线DE 平面A1MC，MO 平面A1MC， 所以直线DE∥平面A1MC. 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)， 使直线DE∥平面A1MC. 反 思 感 悟 对线面平行探索可先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明.证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系. 如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为△ABC.已知AA1=4，BB1=2，CC1=3.在边AB上是否存在一点O，使得OC∥平面A1B1C1？ 跟踪训练 2 存在.如图，取AB的中点O，连接OC. 作OD∥AA1交A1B1于点D，连接C1D，则OD∥BB1∥CC1. 因为O是AB的中点， 所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1， 则四边形ODC1C是平行四边形，所以OC∥C1D. 又C1D 平面A1B1C1，且OC 平面A1B1C1， 所以OC∥平面A1B1C1， 即在边AB上存在一点O(AB的中点)，使得OC∥平面A1B1C1. 1.知识清单： (1)线面平行性质与判定定理的综合应用. (2)线面平行中的探索性问题. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：在探索性问题中易漏结论. 随堂演练 四 1.如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； 1 2 ∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD. ∵EH 平面BCD，BD 平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)BD∥平面EFGH. 1 2 ∵BD∥EH，BD 平面EFGH， EH 平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，试求点E的位置，使SC∥平面EBD，并证明. 1 2 点E的位置是棱SA的中点. 证明：取SA ... ...
