(
课件网) 第六章 <<< 6.2 柱、锥、台的体积 1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积. 2.掌握求几何体体积的基本技巧. 学习目标 在初中我们学习了特殊的棱柱———正方体、长方体的体积公式的求法，那么对于一个一般的棱柱或棱锥、棱台，它们的体积又如何来计算呢？ 导 语 一、柱、锥、台的体积公式 二、等体积法求几何体体积 课时对点练 三、割补法求几何体的体积 随堂演练 内容索引 柱、锥、台的体积公式 一 提示 V正方体=a3(a为棱长)； V长方体=abc(a，b，c分别为长方体的长、宽、高)或V长方体=Sh(S，h分别表示长方体的底面积和高). 正方体和长方体的体积公式分别是什么？ 问题1 提示 没有变化.因为改变前后书堆的底面积和高没有变化. 取一些书堆放在桌面上(如图所示)，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积的变化？ 问题2 几何体 体积公式 柱体 圆柱、棱柱 V柱体=____ S—柱体的底面积，h—柱体的高 锥体 圆锥、棱锥 V锥体=_____ S—锥体的底面积，h—锥体的高 台体 圆台、棱台 V台体=_____ S上，S下—台体的上、下底面积，h—台体的高 Sh Sh )h (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是 A. B. cm3 C.288π cm3 D.192π cm3 例 1 √ √ 当圆柱的高为8 cm时，V=π× (cm3). (2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为 . 224π 设上底面半径为r，下底面半径为R=4r，高为h=4r，如图. ∵母线长为10， ∴102=(4r)2+(4r-r)2， 解得r=2. ∴下底面半径R=8，高h=8， ∴V圆台=)h=π(r2+rR+R2)h=224π. 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形列出方程并求解. 反 思 感 悟 (2024·新课标全国Ⅰ)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为 A.2 B. C. D.π 跟踪训练 1 √ 设圆柱的底面半径为r， 则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等， 所以2πr×， 即2，故r=3， 故圆锥的体积为π. 二 等体积法求几何体体积 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积. 例 2 由题意可知， ∵a2， 又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a， ∴a3， ∴a3. 本例中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1-EBFD1的体积. 延伸探究 因为EB=BF=FD1=D1E=a，D1F∥EB， 所以四边形EBFD1是菱形. 则△EFB≌△FED1. 因为三棱锥A1-EFB与三棱锥A1-FED1的高相等， 所以 . 又因为a2， 所以a3， 所以a3. 反 思 感 悟 等体积法是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于三棱锥的体积. 一个封闭的正三棱柱容器，高为3，容器内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱的交点E，F，F1，E1分别为 所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 A. B. C.2 D. 跟踪训练 2 √ 因为E，F，F1，E1分别为所在棱 的中点， 所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积 V=S梯形EFCB×3=S△ABC. 设图甲中水面的高度为h， 则S△ABC×h=. 割补法求几何体的体积 三 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. 例 3 如图，连接EB，EC，AC. V四棱锥E-ABCD=×42×3=16. ∵AB=2EF，EF∥AB， ∴S△EAB=2S△BEF. ∴V三棱锥F-EBC=V三棱锥C-EFB=V三棱锥C-ABE =V四棱锥E-ABCD=4. ∴多面体的体 ... ...
