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课件网) 第六章 <<< 6.3 球的表面积和体积 1.了解球的表面积与体积公式，并能求球的表面积和体积. 2.掌握球的截面问题及切、接问题的相关计算. 学习目标 牟合方盖是一种几何体，是两个等半径圆柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因为像是两个方形的盖子合在一起，所以被称作“牟合方盖”.它也是我国古代数学家刘徽发现的一种用于计算球体体积的方式，他本希望用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误，虽然最终并没有实现，但是这个发现有着重要的意义.二百多年后，中国伟大的数学家祖冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的想法，利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题.“牟合方盖”的提出，充分体现了古人丰富的想象能力，以及为解决问题建立模型的智慧.刘徽是1 700多年前的人，祖氏父子是1 500多年前的人，以千年前的社会知识水平，思考这种问题，简直令人叹为观止，这种智慧的光芒，震古烁今. 导 语 一、球的表面积与体积 二、球的截面 课时对点练 三、与球有关的切、接问题 随堂演练 内容索引 球的表面积与体积 一 球的表面积与体积公式 条件 球的半径为R 表面积公式 S=_____ 体积公式 V=_____ 4πR2 πR3 (1)已知球的表面积为16π，求它的体积； 例 1 设球的半径为r，则由已知得4πr2=16π， 所以r=2， 所以球的体积V=. (2)已知球的体积为，求它的表面积. 设球的半径为R，则由已知得， 所以R=4， 所以球的表面积S=4πR2=4π×42=64π. (1)关键：把握住球的表面积公式S球=4πR2，球的体积公式V球=πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件，把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了. (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方. 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 反 思 感 悟 设球的半径为R，体积扩大到原来的27倍后，其半径为R'. 则V=πR3， ∴R'=3R.∴S'=4πR'2=36πR2，又S=4πR2， ∴S'=9S. 若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的 A.3倍 B.3 C. D.倍 跟踪训练 1 √ 二 球的截面 用一个平面α去截半径为R的球O. (1)若平面α经过球心O，则截线是以球心O为圆心 的 ，称为球的 . (2)若平面α不经过球心O，如图，不妨设OO'⊥α 于点O'，记OO'=d，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OO'⊥O'P，所以O'P=为半径的圆，称为球的小圆. 圆 大圆 已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18，BC=24，AC=30，求球的半径. 例 2 ∵AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形，B=90°. ∵球心O在截面△ABC的投影O'为截面圆的圆心， 即是Rt△ABC的外接圆的圆心， ∴斜边AC为截面圆O'的直径(如图所示). 设O'C=r，OC=R，则球的半径为R，截面圆半径为r， 在Rt△O'CO中， 由题设知sin∠O'CO==， ∴∠O'CO=30°，∴， 即R=r， ① 又2r=AC=30，∴r=15，代入①得R=10. ∴球的半径为10. 反 思 感 悟 (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题. (2)解题时要注意借助球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2=d2+r2. 球心到过球面上A，B，C三点的截面的距离是球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球的体积为 A. B. C. D. 跟踪训练 2 √ 因为AB=BC=CA=2， 所以△ABC外接圆的半径r=. 设球的半径为R， 则R2-， 所以球的体积V=. 与球有关的切、接问题 三 1.球的切线：与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点，过球外一点可以作无数多条球的切线. 2.几何体的外接球：球面经过多面体的所有顶点的球，叫做多 ... ...
