5.3 垂径定理（学案带答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 5.3 垂径定理（学案带答案） 列清单·划重点 知识点1 垂径定理 _____弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的_____. 符号语言：如图所示，∵直径 弦AB,垂足为点 M, _____, 知识点2 垂径定理的推论 平分弦(_____)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的_____. 符号语言：如图所示，∵直径 CD与非直径的弦 AB 交于点 M,且 AM= BM,_____. 注意 (1)因为圆的两条直径必互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦不能为直径，否则结论不一定成立. (2)在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”为辅助线，有时则只需要从圆心作弦的垂线段即可. 明考点·识方法 考点1 垂径定理及其推论 典例1 如图,在⊙O 中,弦AB的长为8,圆心 O到 AB 的距离 4，则⊙O的半径长为 ( ) A. 4 C. 5 思路导析 利用垂径定理，勾股定理求解即可. 规律总结 在圆中，解决有关弦的问题时，常利用半径、圆心到弦的垂线段和弦的一半构成的直角三角形来达到求解的目的. 变式 如图,△ABC的顶点都在⊙O上,OD⊥AB, OE⊥BC,OF⊥AC.垂足分别为点 D, E,F,连接 DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC 的周长为 21,则EF的长为 ( ) A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3 考点2 垂径定理的实际应用 典例2 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图. 是⊙O的一部分，D 是 的中点，连接OD，与弦AB 交于点 C，连接OA,OB. 已知 AB = 24 cm,碗深 CD =8 cm,则⊙O的半径OA 为 ( ) A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm 思路导析 首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB，再设⊙O 的半径OA 为R cm,则OC=(R-8) cm.在 Rt△OAC 中根据勾股定理列出方程 求出R 即可. 变式1 “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何 ”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD 为⊙O的直径，弦 垂足为 E,CE=1 寸,AB=10寸,则直径CD的长度为_____寸. 变式2 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2 是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26 m,设 所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为点 D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m,连接OB. (1)直接判断AD与BD 的数量关系； (2)求这座石拱桥主桥拱的半径.(精确到1 m) 当堂测·夯基础 1.如图,已知⊙O的半径为10,⊙O的一条弦AB=16,若⊙O内的一点P 恰好在AB 上，则线段OP 的长度为整数的值有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第1题图 第2题图 2.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 7 cm，AB=8cm,CD=6 cm.请你帮忙计算纸杯的直径为 ( ) A. 5 cm B. 9.6 cm C. 10 cm D. 10.2 cm 3.日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图1)，它可以看作如图2 所示的几何图形.已知AC=BD=5 cm ,AC⊥CD,垂足为点 C,BD⊥CD,垂足为点 D,CD=16 cm,⊙O的半径r=10 cm,则圆盘离桌面 CD 最近的距离是 ( ) A.6 cm B.5 cm C.2 cm D.1 cm 4.如图，在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材，现用锯子去锯这个木材，锯口深锯道已知 则这根圆柱形木材的半径是 ( ) A. 20 B. 12 C. 10 D. 8 5.如图所示，⊙O的直径AB 和弦CD 相交于点E，求弦CD的长. 参考答案 【列清单·划重点】 知识点1 垂直于 平分 两条弧 知识点2 不是直径 两条弧 【明考点·识方法】 典例1 B 变式 B 典例2 A 变式1 26 变式2 解:(1)∵OC ... ...