北京市西城区育才学校2024-2025学年高二（上）12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

北京市西城区育才学校 2024-2025 学年高二（上）12 月月考数学试卷 一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知动点 ( , )满足√ ( + 2)2 + 2 √ ( 2)2 + 2 = 2，则动点 的轨迹是( ) A. 双曲线 B. 双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线 2.原点到直线 + 2 5 = 0的距离为( ) A. 1 B. √ 3 C. 2 D. √ 5 2 4 3.在( ) 的展开式中，常数项为( ) A. 24 B. 24 C. 48 D. 48 2 2 4.双曲线 = 1的离心率为( ) 2 3 √ 13 √ 13 √ 10 √ 10 A. B. C. D. 2 3 2 3 5.已知直线 : + 2 3 = 0与圆 : 2 + 2 4 = 0交于 ， 两点，则线段 的垂直平分线方程为( ) A. 2 4 = 0 B. 2 + 4 = 0 C. 2 2 = 0 D. 2 2 = 0 6.将4张座位编号分别为1，2，3，4的电影票全部分给三人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票具 有连续的编号，那么不同的分法种数是( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 2 2 √ 3 7.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点为 1， 2离心率为 ，过 2的直线 交 与 ， 两点，若△ 3 1 的周长为4√ 3，则 的方程为 2 2 2 2 22 2 2 A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1 3 2 3 12 8 12 4 2 2 8.设双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，过点 的直线 平行于双曲线 的一条渐近线，与另一 条渐近线交于点 ，与双曲线 交于点 ，若 为线段 的中点，则双曲线 的离心率为( ) 1 √ 2 4√ 5 A. B. C. √ 2 D. 2 2 5 9.过点 ( √ 3, 1)的直线 与圆 2 + 2 = 1有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是( ) A. (0, ] B. (0, ] C. [0, ] D. [0, ] 6 3 6 3 第 1 页，共 10 页 10.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为3的正方形， ⊥平面 ，点 为底面上的动点， 到 的距离记为 ，若 = 2 ，则点 在底面正方形内的轨迹的长度为( ) 2 4 A. 2 B. C. √ 5 D. 3 3 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11.请写出一个焦点在 轴，且以 = ±2 为渐近线方程的双曲线的标准方程 ． 12.直线 = + 1被圆 2 2 + 2 3 = 0所截得的弦长为 13.圆 2+ 2 = 1与圆( + )2 + 2 = 4相切、求实数 的值 14.若(2 + )5 = + + 2 + 3 + 4 50 1 2 3 4 + 5 ，则 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.抛物线 : = 2的准线 的方程为 .若点 是抛物线 上的动点， 与 轴交于点 ，则∠ ( 是坐标 原点)的最大值为 ． 三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题12分) 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： (1)唱歌节目排在两头，有多少种排法 (2)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法 (3)唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法 (4)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快 板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法 17.(本小题12分) 如图，在直三棱柱 — 1 1 1中， = = 2， 1 = 4， ⊥ ， ⊥ 1交 1于点 ， 为 1的 中点． 第 2 页，共 10 页 (1)求证： ⊥平面 1 ； (2)求二面角 — 1— 的余弦值． 18.(本小题12分) 2 已知椭圆 : + 2 = 1，直线 过点(0, 2)与椭圆 交于两点 , ， 为坐标原点． 4 3 (1)设 为 的中点，当直线 的斜率为 时，求线段 的长； 2 (2)当△ 面积等于1时，求直线 的斜率． 19.(本小题12分) 矩形 的两条对角线相交于点 (2,0)， 边所在直线的方程为 3 6 = 0，点 ( 1,1)在 边所在 直线上． ( )求 边所在直线的方程； ( )求矩形 外接圆的方程； ( )若动圆 过点 ( 2,0)，且与矩形 的外接圆外切，求动圆 的圆心的轨迹方程． 20.(本小题12分) 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ， 为 中点， = ... ...