宜川中学2024学年第一学期高二年级数学期末 2025.1 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．双曲线的渐近线方程为 ． 2．已知函数，则 ． 3．已知等差数列满足，则的值为 ． 4．圆与圆的相交弦所在直线方程为 ． 5．已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，那么的面积为 ． 6．在正方体中，与直线所成角的大小为的面对角线共有 条. 7．一个圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率等于 ． 8．如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余阴影部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为 ． 9．若是三个不共面的非零向量，，，若向量共面，则 ． 10．已知函数有三个单调区间，则实数的取值范围 ． 11．已知数列为等差数列，且，设，，当的前项和最小时，的值组成的集合为 ． 12．已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点满足，则的取值范围是 ． 二、选择题（本大题满分18分，第13，14题每题4分，第题每题5分） 13．已知点是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ）. A． B． C． D． 14．已知是平面的一条斜线，直线，则（ ）. A．存在唯一一条直线，使得； B．存在无数多条直线，使得； C．存在唯一一条直线，使得； D．存在无数多条直线，使得 15．已知数列为无穷等比数列，若，则的取值范围为（ ）. A． B． C． D． 16．在直角坐标系中，一个矩形的四个顶点都在椭圆上，将该矩形绕轴旋转，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积最大时，其侧面积为（ ）. A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分78分，第17，18，19题每题14分，第20，21题每题18分） 17．在等差数列中，，且构成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 18．如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，分别是线段的中点，若平面交于点. （1）求多面体的体积； （2）求证：四边形是正方形． 19．如图，在长方体中，点在棱上移动． （1）当点在棱的中点时，证明：平面平面； （2）当为何值时，平面与平面所成的锐二面角为． 20．已知曲线由抛物线及抛物线组成，若是曲线上关于轴对称的两点，四点不共线，其中点在第一象限． （1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （2）求四边形周长的最小值； （3）若点横坐标小于4，求四边形面积的最大值． 21．函数满足：对任意恒成立（或恒成立），则称直线是函数在上的支撑线． （1）指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：①；②； （2）动点在函数图像上，直线是在定义域上的支撑线，求点到直线的距离最小值； （3）直线是函数在上的支撑线，求实数的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 二、选择题 13.C 14.B 15.B 16.A 三．解答题 17．在等差数列中，，且构成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2）7 【解析】（1）在等差数列中，，设公差为，由构成等比数列， 可得，即有，得 因为当时，，不满足题意，舍去，所以． （2）由（1）得，则递增， 由 可得时，正整数的最小值为7. 18．如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，分别是线段的中点，若平面交于点. （1）求多面体的体积； （2）求证：四边形是正方形． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）由正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥为正四面体，取中点，连接，取的中点，底面中心为，，则， 所以多面体的体积 （2）先证明四边形是平行四边形，又， 于是为菱形，取的中点，而， 平面，则平面， 又平面 ... ...
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