2024-2025学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2.已知直线：和直线：，若，则实数的值为( ) A. B. C. D. 3.已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为( ) A. B. C. D. 4.如图，在四面体中，是的中点，，则( ) A. B. C. D. 5.已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为( ) A. B. C. D. 6.已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7.长方体中，底面是边长为的正方形，若直线与所成角的余弦值为，则的长为( ) A. B. 或 C. D. 或 8.已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，若，则的面积为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则( ) A. 的焦点在轴上 B. 的方程为 C. 的焦点到其渐近线的距离为 D. 直线与有两个公共点 10.已知为数列的前项和，且，，，则( ) A. 为常数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的前项和恒小于 11.如图，已知椭圆：，其左、右焦点分别为，，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线交椭圆的长轴于点，平分过点作的垂线，垂足为，延长、交于点，若，，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 椭圆的离心率为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量，，若，则 _____． 13.已知，是双曲线的左、右焦点，是抛物线的焦点，若是等边三角形，则该抛物线的方程为_____． 14.如图，在第一象限，圆均与直线和相切，且圆与圆外切，设第个圆的半径为，面积为，则 _____，若，则 _____用含的式子表示 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知的三个顶点分别是，，，求： 线段的垂直平分线的方程； 的外接圆的方程． 16.本小题分 如图，在直四棱柱中，，，点为棱的中点． 证明：平面； 若，求直线到平面的距离． 17.本小题分 在圆：上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在圆上运动，是线段的中点当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合 求点的轨迹方程； 设直线与点的轨迹相交于不同的两点、，若，问是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且． 证明：平面平面； 求与平面所成角的正弦值； 若棱上一点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求． 19.本小题分 已知数列，，，，且，，若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列；若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列． 若，，，试写出二阶等差数列的前项，并求； 若，且满足， 判断是否为二阶等差数列，并证明你的结论； 记数列的前项和为，若不等式时于恒成立，求实数的取值范围． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：根据题意，可得，所以的垂直平分线的斜率， 结合的中点为，可得的垂直平分线方程为，即； 设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为． 16.证明：连接，交于点，连接，，则是的中点， 因为点为棱的中点，所以，， 又，， 所以，，即四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． 解：由直棱柱的性质可知：，， 因为，所以，，两两互相垂直， 故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为则， 令，得， 由知平面， 所以直线到平面的距离等价于点到平面的距离，即． 17.解：设，， 此时， 因为点是 ... ...
