第10章 相交线、平行线与平移 10.1 相交线 第1课时 对顶角 1.了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角的概念. 2.理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的证明和计算. 3.了解对顶角的概念，通过探索对顶角性质的过程，进一步培养学生的识图能力. 4.有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生观察、分析、推理的能力，体会数学这与现实生活的紧密联系. 【教学重点】 对顶角的性质及运用. 【教学难点】 对顶角性质的探索. 情境导入，初步认识 问题：观察剪刀剪东西的过程，可以将剪刀的两片刀刃边沿看作是两条相交直线，如图（1）中虚线所示.把这两条相交直线用图（2）表示，在剪东西的过程中，∠AOC与∠BOD这两个角的位置和大小始终保持怎样的关系？ 【教学说明】教师提出问题，学生独立思考，然后相互交流，发表各自的见解，初步感知相交线与对顶角. 二、思考探究，获取新知 1.对顶角的概念问：在图（2）中，∠1和∠3有何位置关系？ 【教学说明】教师提出问题，学生观察图片，归纳对顶角的概念. 【归纳结论】在图（2）中，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边分别互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质 探究：在图（2）中，∠1与∠3的大小有什么关系？你能说明具有这样关系的道理吗？ 【教学说明】教师提出问题，学生观察图形，尝试进行推理论证，感受数学的严密性和逻辑性. ∵∠1+∠2=180° ∠3+∠2=180° ∴∠1=∠3 【归纳结论】对顶角相等. 三、典例精析，掌握新知 例1 如图所示，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线. （1）∠AOC的邻补角是 (2)∠AOD的对顶角是 （3）∠BOD的对顶角是 【解】 （1）∠AOD,∠BOC (2)∠BOC (3)∠AOC 例2 如图，直线a,b相交，∠1=40°,求∠2、∠3、∠4. 【解】∵∠1=40° ∴∠3=∠1=40° ∴∠2=180°-∠1=180°-40°=140° ∴∠4=∠2=140°. 例3 如图所示，直线AB、DF交于点C，CE是一条射线，∠2=2∠1、 ∠ECD=120°.求∠ACF. 【解】∵∠ECD=120° ∴∠1+∠2=60° 又∠2=2∠1 ∴∠2=40° ∴∠ACF=∠2=40°. 例4 如图，∠AOC与∠BOD为对顶角，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.请求出∠EOF的度数，你有什么发现？能用一句简洁的语句描述你的发现吗？ 【解】∵∠AOC与∠BOD为对顶角 ∴C、O、D在同一条直线上. 又OE平分∠AOC,OF平分∠BOD. ∴∠COE= AOC,∠DOF=∠BOD. 又∠AOC=∠BOD ∴∠COE=∠DOF. ∴∠EOF=∠COE+∠COF=∠DOF+∠COF=∠COD=180°. 发现：对顶角的角平分线在同一条直线上. 【教学说明】教师给出例题，学生独立自主完成，教师可让几个学生上台展示自己的答案，交流各自的心得，积累解决问题的经验与方法. 四、运用新知，深化理解 1.下列说法正确的是（ ） A.相等的角是对顶角； B.若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； C.若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； D.有公共顶点且相等的两个角是对顶角. 2.判断下列各图中∠1与∠2是否为对顶角，并说明理由. 3.如图，两条直线相交，∠1=35°,求∠2和∠3的度数. 4.如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOD.若∠3∶∠2=8∶1，求∠AOC的度数. 【教学说明】教师给出习题，学生尝试独立完成，教师巡视，对解题过程中出现的问题及时予以指正，对有困难的学生进行点拨. 【答案】1.B 2.（1）不是对顶角，∠1与∠2没有公共顶点; （2）不是对顶角，∠1与∠2的两边不是分别互为反向延长线； （3）不是对顶角，理由同（2）; （4）不是对顶角，∠1与∠2是邻补角; （5）是对顶角; （6）不是对顶角，理由同（1）. 3.∠2=∠1=35° ∠3=180°-∠1=145°. 4.∵OE平分∠BOD∴∠1=∠2 又∠3∶∠2=8∶1 ∴∠3=8∠2. 又∠1+∠2+∠3=180° ∴10∠2=180°, ∴∠2=18° ∴∠AOC=∠BOD=2∠2=36° ... ...
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