6.4 平面向量的应用 同步练习（含答案）

6.4 平面向量的应用 一、选择题 1．的内角的对边分别为，若，则（　　） A．2 B． C．3 D． 2．在中，已知，，，则的面积等于（　　） A． B． C． D． 3．在中，内角所对边分别为，若，则（　　） A． B． C． D．2 4．在锐角中，，则的范围是（　　） A． B． C． D． 5．记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，，则线段CD长度的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 7．点O，G，P为所在平面内的点，且有， ，，则点O，G，P分别为的（　　） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 8．在等腰中，，若点M为的垂心，且满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 9．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（　　） A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 10．下列关于平面向量的说法中正确的是（　　） A．不共线，且，则. B．若向量，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 C．已知，则在上的投影的坐标为 D．已知点为的垂心，则 11．已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（　　） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 12．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（　　） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 三、填空题 13．中内角，，所对的边分别为，，，且，，，则　 　． 14．在中，角所对的边分别为，且满足，若的中线，且，则的面积为　 　. 15．在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为　 　 16．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”，意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，若点P为的费马点，，则实数t的取值范围为　 　. 四、解答题 17．已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，面积为，求的值. 18．在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 19．已知中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，且，求. 20．在中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 （1）求角C的大小； （2）若，的平分线与的平分线交于点I，求周长的最大值． 参考答案 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．A 解：由，可得：即则可得： ，所以，，同理可得： 则O是三边上高的交点，则O为的垂心； 又根据可得：设AB的中点为M，则即G，M，C三点共线，所以点G在的中线CM上，同理可得点G在的其余两边的中线上，所以G是三边中线的交点，故G为的重心； 又，可得：，即，又M为AB的中点，所以点P在AB的垂直平分线上，同理可得P在BC，AC的垂直平分线上，即P是三边垂直平分线的交点，故P为的外心，故A选项符合题意. 8．C 9．A,B,D 10．B,D 11．A,B,D 12．A,B 解：A、取的中点，连接，如图所示： 因为，所以， 则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，故A正确； B、若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，故B正确； C、若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ... ...