8.6 一元二次方程的应用（学案含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 第八章 一元二次方程 6 一元二次方程的应用 列清单·划重点 知识点1 列一元二次方程解应用题的步骤 列一元二次方程解应用题的步骤可以归纳为：审、找、设、列、解、验、答.其具体过程是： (1)审题：阅读题目，明确已知量与未知量； (2)找 ：寻找已知量和未知量之间的联系，用运算符号和等号连接； (3)设 ：一是直接设所求的量为x，二是间接设与所求的量紧密相关且起着关键性作用的量为x，注意设未知数要带单位； (4)列 ：用含有x的代数式把等量关系中的各个量表示出来，列出方程； (5)解 ：选择合适的方法解方程； (6) ：检验两个解是否符合题意，舍去不符合题意的解； (7)写 . 知识点2 列一元二次方程解应用题的常见类型 1.面积问题. 2.平均增长率(降低率)问题： 变化前的基数(a)，增长率或降低率(x)，变化的次数(n)，变化后的基数(b)，这四者之间的关系可用公式 a(1±x) =b表示. 3.利润问题： 单利润= . 总利润=总售价-总进价= . 4.与几何图形结合. 5.动点问题： 这类问题的特点是图形中的某个元素，按照某种规律在运动，但不管是点在运动，还是线在运动，或图形在运动，解题时不要被“动”所迷惑，而应在动中求静，寻求确定的关系式，就能找到解决问题的途径. 明考点·识方法 考点1 几何图形问题 典例1 某校为了美化校园，准备在一块长32米、宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽道路，余下部分作草坪，使草坪面积为540平方米，并请全校同学参与设计，现在有两位学生各设计了一种方案(如图)，请你根据两种设计方案各列出方程，求图1图2中道路的宽分别是多少 思路导析 图1：设道路的宽为x米.草坪长应该为(32-2x)米,宽应该为(20-2x)米;那么根据草坪的面积为540平方米，即可得出方程，求解即可；图2：如果设路宽为x 米，草坪的长应该为(32-x)米,宽应该为(20-x)米;那么根据草坪的面积为540平方米，即可得出方程，求解即可. 变式 如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈 ABCD，并在边 BC上留一个2m 宽的门(建在EF 处，另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m 的羊圈 (2)羊圈的面积能达到650 m 吗 如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 考点2 平均增长 (降低)率问题 典例2 为建设美丽城市，改造老旧小区.某市 2021年投入资金1000 万元,2023 年投入资金 1440 万元.现假定每年投入的资金年增长率相同. (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)2023 年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加50%.如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区 思路导析 (1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，列出方程 1440,解答即可; (2)设该市在2024年可以改造y个老旧小区，列出不等式96×(1+50%)y≤1440×(1+20%),解答即可. 变式 为了减轻老百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低.2022 年这种药剂价格为 400 元，2024年该药剂价格为196元. (1)求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划 2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于 147元，则此次价格的下降率最多是多少 考点3 营销利润问题 典例3 某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100千克，经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克.专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克特产应定价为多少元 (1)解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为 ; 方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意，得方程为_ ... ...