6.4.1 直线与平面平行 学案 (原卷版+解析版)

§4　平行关系 4.1　直线与平面平行 学习目标 1.理解直线与平面平行的判定定理和性质定理,发展直观想象的核心素养. 2.能够利用直线与平面平行的判定定理和性质定理解决空间中的平行关系问题,增强逻辑推理的核心素养. 知识探究 知识点1　直线与平面平行的性质定理 文字语言:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行. 图形语言: 符号语言:a∥α,a β,α∩β=b a∥b. [思考1] 若一条直线与一个平面平行,则直线与平面内的直线是什么关系 提示:平行或异面. 知识点2　直线与平面平行的判定定理 文字语言:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 图形语言: 符号语言:a α,b α,a∥b a∥α. [思考2] 直线与平面平行的判定定理中的“平面外一条直线”中的“平面外”能去掉吗 提示:不能.因为与平面内的一条直线平行的直线既可以与平面平行,也可以在平面内. (1)应用线面平行的判定定理的注意点:在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面内,直线b在平面内,且a∥b,否则会出现错误. (2)应用线面平行的性质定理的注意点:一条直线平行于一个平面,它可以与平面内的无数条直线平行,但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行,也可能异面. (3)线面平行的判定定理和性质定理使用的区别:如果结论中有a∥α,要用判定定理,则在平面α内找(或作)与a平行的直线;如果条件中有a∥α,要用性质定理,则找(或作)过直线a且与平面α相交的平面. 探究点一　直线与平面平行的性质 [例1] 如图所示,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形. (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤. (2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. [针对训练] 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,求线段EF的长度. 探究点二　直线与平面平行的判定 [例2] 如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,D为AC的中点,求证:AB1∥平面BC1D. 证明直线与平面平行主要是利用直线与平面平行的判定定理,即结合已知条件证明直线与平面内的一条直线平行.一般地,在题目中出现中点时,常见的证明线线平行的两种途径为: (1)中位线→线线平行; (2)平行四边形→线线平行. [针对训练] 如图,四边形ABCD是平行四边形,P是平面ABCD外一点,M,N分别是AB,PC的中点.求证:MN∥平面PAD. 探究点三　直线与平面平行的综合应用 [例3] 如图所示的一块正四棱锥PABCD木料,侧棱长和底面边长均为13,M为侧棱PA上的点. (1)若PM∶MA=1∶1,要经过点M和棱BC将木料锯开,在木料表面应该怎样画线 (请写出必要作图说明) (2)若PM∶MA=5∶8,在线段BD上是否存在一点N,使直线MN∥平面PBC 如果不存在,请说明理由;如果存在,求出BN∶ND的值以及线段MN的长. 直线与平面平行的判定定理与性质定理的应用方法 直线与平面平行的判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链,即 线线平行线面平行线线平行 [针对训练] 如图,在几何体ABCDFE中,四边形ABCD为直角梯形,DC=2AB,GC=2FG,平面ABFE∩平面CDEF=EF. (1)求证:AF∥平面BDG. (2)求证:AB∥EF. 学海拾贝 直线与平面平行中的线段计算问题 [典例探究] 已知BC∥平面α,D在线段BC上,A α,直线AB,AC,AD分别交平面α于点E,G,F,且BC=a,AD=b,DF=c,求EG的长. 求解直线与平面平行相关的线段长度问题,主要是利用直线与平面平行的性质,转化为直线与直线的平行关系,结合平行线等分线段成比例求解,求解时要注意分类讨论思想的应用. [应用探究] 如图所示,直线a∥平面α,A α,并且a和A位于平面α两侧,点B∈a,C∈a,AB, ... ...