6.4.2 平面与平面平行 学案 (原卷版+解析版)

4.2　平面与平面平行 学习目标 1.理解平面与平面平行的性质定理和判定定理,培养直观想象与数学抽象的核心素养. 2.通过平面与平面平行的性质定理和判定定理的应用,提升逻辑推理的核心素养. 知识探究 问题1:平面与平面平行时,一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系 提示:平行. 知识点1　平面与平面平行的性质定理 (1)文字语言:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行. (2)符号语言:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b. (3)图形语言:如图所示. (4)实质:面面平行,得线线平行. [思考1] 如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗 提示:不一定,它们可能异面. [思考2] 通过基本事实4可知,平行于同一条直线的两条直线互相平行,该基本事实推广到空间是“平行于同一平面的两个平面互相平行”,这个推广正确吗 提示:正确. 问题2:如果两个平面没有公共点,则两个平面平行吗 提示:平行. 知识点2　平面与平面平行的判定定理 (1)文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. (2)符号语言:a α,b α,a∩b=A,a∥β,b∥β α∥β. (3)图形语言:如图所示. (4)实质:线面平行,得面面平行. [思考3] 如果平面α内的两条直线与平面β平行,则α,β一定平行吗 提示:不一定平行,还可以相交. (1)平面与平面平行的判定定理的一个推论:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行. 符号表示:a α,b α,a∩b=O,a′ β,b′ β,a′∩b′=O′,a∥a′,b∥b′ α∥β. (2)关于面面平行常见的结论. ①两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. ②夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 探究点一　平面与平面平行的性质 [例1] 如图,已知平面α∥平面β,P是平面α,β外的一点(不在α与β之间),直线PB,PD分别与α,β相交于点A,B和C,D. (1)求证:AC∥BD. (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长. [变式探究] 在本例中,若点P在α与β之间,在第(2)问条件下求CD的长. 利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线,往往需要有三个平面,即有两平面平行,再构造第三个平面与两平行平面都相交. 探究点二　平面与平面平行的判定 [例2] 如图,在四棱锥PABCD中,E为PA的中点,F为BC的中点,底面ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O. 求证:平面EFO∥平面PCD. 证明平面与平面平行的常用方法:要证明面面平行,关键是要在其中一个平面中找到两条相交直线和另一个平面平行,而要证明线面平行,还要通过线线平行来证明,注意这三种平行之间的转化. [针对训练] 在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,A1B1=a,AB=2a,E,F分别是AD,AB的中点.证明:平面EFB1D1∥平面BDC1. 探究点三　空间平行关系的综合应用 [例3] 在边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M是该正方体表面上一个动点,且BM∥平面AD1C,则动点M的轨迹的长度是　　　　. 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体,平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键,其内在联系如图所示. [针对训练] 在正四棱柱A1B1C1D1ABCD中,E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1, DD1,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足条件　　　　时,有MN∥平面B1BDD1. 学海拾贝 平行中的位置探索问题 [典例探究] 已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC 若存在,证明你的结论,并说出点F的位置;若不存在,请说明理由. 平行中位置探索问题的求解方法 (1)求解在空间几何体的某条棱上是否存在一点使得线、面平行,并给出证明或说明理由的问题, ... ...