6.6.2 柱、锥、台的体积 学案 (原卷版+解析版)

6.2　柱、锥、台的体积 学习目标 1.了解柱、锥、台的体积公式及其内在联系,发展数学抽象的核心 素养. 2.能够利用体积公式求柱、锥、台的体积,提升数学运算的核心素养. 知识探究 知识点　柱、锥、台的体积 棱柱的体 积公式 V棱柱=Sh 圆柱的体积公式V圆柱=Sh=πr2h 柱体的底面面积为S,高为h 棱锥的体 积公式 V棱锥=Sh 圆锥的体积公式V圆锥=Sh=πr2h 锥体的底面面积为S,高为h 棱台的体积 公式V棱台= (S上+S下+ )h 圆台的体积 公式V圆台= (S上+S下+ )h 台体的上、下底面面积分别为S上,S下,高为h [思考] 若圆台的高为h,上、下底面半径分别为r,R,如何求圆台的体积 提示:V=πh(r2+Rr+R2). (1)关于斜棱柱的两个体积计算公式: ①斜棱柱的体积等于斜棱柱直截面的面积与斜棱柱侧棱长的乘积; ②若三棱柱的一个侧面的面积为S,该侧面所对的一条侧棱到该面的距离为l,则三棱柱的体积为V=Sl. (2)关于棱锥体积的一个重要结论:在棱锥与该棱锥被平行于底面的平面所截得的小棱锥中,有如下比例关系:=对应线段(高、侧棱长、底面边长等)的立方比. 探究点一　棱柱和圆柱的体积 [例1] (1)已知一个圆柱的侧面积等于表面积的,且其轴截面的周长是16,则该圆柱的体积是(　　) A.54π B.36π C.27π D.16π (2)正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为　　　　. 柱体体积的求法 求柱体体积的关键是求柱体的底面积与高(对于圆柱则是母线,对于直棱柱则是侧棱长),尤其是对于已知条件中含正棱柱的侧面的问题,要明确侧面展开图的矩形的边长与高的关系,若不能确定,则需要分类讨论. [针对训练] 如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形的边长为 2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是　　　　　　　　cm3. 探究点二　棱锥和圆锥的体积 [例2] (1)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》记载:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,其一为鳖臑.”即一个长方体沿对角面斜解(图①),得到一模一样的两个堑堵(图②),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图②),得一个四棱锥称为“阳马”(图③),一个三棱锥称为“鳖臑”(图④).若长方体的体积为V,由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1,V2,V3,则下列选项正确的是(　　) A.V1+V2+V3=V B.V1=2V2 C.V2=3V3 D.V3=V (2)已知某圆锥的体积为,该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形,则该圆锥的侧面积为　　　　. 锥体体积的求法 (1)求锥体的体积首先应明确锥体的底面,然后求出几何体的底面积与高后直接代入公式求解. (2)由于四面体的任何一个面都可以作为底面,因此求四面体(三棱锥)的体积只需选用底面积和高都易求的形式即可. (3)若所求的锥体是已知体积易求的几何体的一部分,可以根据锥体体积与已知几何体体积的比例关系求解. (4)若所求几何体的底面积或高不易求解,则可以利用间接法求解,间接法的实质是将待求体积的几何体分割为几个体积易求的几何体或拼接成一个体积易求的几何体,将所求几何体的体积转化为几个体积的和或差. [针对训练] (1) 如图,圆锥PO的底面直径和高均为4,过PO的中点O′作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,则剩下几何体的体积是(　　) A.10π B. C.2π D. (2)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥 EACD,FABC,FACE的体积分别为V1,V2,V3,则(　　) A.V3=2V2 B.V3=V1 C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1 探究点三　棱台和圆台的体积 [例3] (1)如图是一个圆台的侧面展开图,若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是(　　) A. B. C. D. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分 ... ...