6.6.3 球的表面积和体积 学案 (原卷版+解析版)

6.3　球的表面积和体积 学习目标 1.通过球的结构和性质的学习,发展数学抽象的核心素养. 2.掌握球的表面积和体积公式,提升数学运算的核心素养. 知识探究 知识点1　球的截面和切线 　(1)球的截面. 用一个平面α去截半径为R的球O的球面得到的截线是圆,有以下 性质: ①若平面α经过球心O,则截线是以球心O为圆心,半径为R的圆. ②若平面α不经过球心O,如图,设OO′⊥α,垂足为O′,记OO′=d, 对于平面与球面的任意一个公共点P,都满足OO′⊥O′P, 所以O′P=,此时截线是以点O′为圆心,以r=为半径的圆. 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. (2)球的切线. 当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,这一交点称为直线与球的切点. 球的切线的性质: ①球的切线垂直于过切点的半径; ②过球外一点的所有切线的切线长都相等. 知识点2　球的表面积与体积 若球的半径是R,则球的表面积S球面=4πR2,球的体积V球=πR3. 与球有关的切、接问题的常用结论 (1)正方体的棱长为a,球的半径为R. ①若球为正方体的外接球,则2R=a; ②若球为正方体的内切球,则2R=a; ③若球与正方体的各棱相切,则2R=a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 探究点一　球的截面 [例1] 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则该球的半径为(　　) A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在平面,球的切线垂直于过切点的半径,求解球的截面与切线问题要充分利用这些垂直关系,进一步转化为直线与圆的位置关系问题. [针对训练] (1)已知球O的半径为2,球心到平面α的距离为1,则球O被平面α截得的截面面积为(　　) A.2π B.3π C.π D.π (2)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(　　) A.64π B.48π C.36π D.32π 探究点二　球的表面积与体积 [例2] 已知一个底面内口直径为2 cm的圆柱体玻璃杯中盛有高为2 cm的水,向该杯中放入一个半径为r cm(r≥)的实心冰球和一个半径为(r+1) cm 的实心钢球,待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中(实心钢球与杯中水面、杯底均相切).若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计,则实心钢球的表面积为(　　) A.10π cm2 B.12π cm2 C.14π cm2 D.16π cm2 球的表面积公式和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关,因此,在解决此类问题时,要充分利用球的半径表示出有关量,找出量与量之间的关系. [针对训练] (1)已知球O的表面积为12π,则它的体积为(　　) A.4π B.4 C.8π D.8 (2)两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为 　　　　. 学海拾贝 球的组合体问题 求解与球有关的组合体问题,关键是根据组合体的特征求出球的半径,而求半径需要确定球心,确定球心的主要方法是利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,结合球的截面性质求半径. [典例探究] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　) A.100π B.128π C.144π D.192π (2)蹴鞠,又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等,蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义,鞠最早系外包皮革、内实米糠的球,因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动,类似于今日的足球.2006年5月20日,蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠(球)的表面上有四个点A,B,C,P,且球心O在PC上,AC=BC=4,AC⊥BC,tan ∠PAB=tan ∠PBA=,则该鞠( ... ...