第05讲 平面向量线性运算的应用 课程标准 学习目标 1．会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题． 2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题． 1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学建模核心素养． 2．通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素养. 知识点01 向量在平面几何中的应用 (1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0) bλa x1y2x2y1[a(x1，y1)，b(x2，y2)]． (2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|. (3)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使λ，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ1)，使λ＋μ. （4）用向量运算解决平面几何问题的“三步法” 第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系. 第三步：把运算结果“翻译”成几何关系. 【即学即练1】 在四边形中，若，则四边形为（ ） A．平行四边形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】C 【分析】 根据向量共线即可判断. 【详解】四边形ABCD中，若， 则，且， 所以四边形是梯形. 知识点02 向量在物理中的应用 (1)力向量 力向量包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算． (2)速度向量 一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示． (3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算． 【即学即练2】 已知三个力f1(－2，－1)，f2(－3,2)，f3(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 【答案】A 【解析】由物理知识知f1＋f2＋f3＋f40，故f4－(f1＋f2＋f3)(1,2)． 题型01 利用平面向量判断几何图形形状 【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（ ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. . 【变式1】在中,,则是 A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】根据向量的线性运算化简判定即可. 【详解】,则,故是等边三角形. 【点睛】本题主要考查了利用向量判定三角形形状的方法,属于基础题型. 【变式2】若且，则四边形的形状为（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】根据条件中的向量关系反映出来大小关系和方向关系来判断. 【详解】可知，四边形为平行四边形， 又因为, 所以四边形为菱形． . 【变式3】在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ） A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形 【答案】C 【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形. 【详解】由，得， 所以， 可得且. 所以四边形一定是梯形． 题型02 利用平面向量证明平行关系 【典例2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：设，，则. 又，. 所以，. 在中，， 所以，即与共线，故. 【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形. 【答案】证明见解析 【解析】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点， 所以 所以， 又因为与不共线，所以，且， 所以四边形EFGH为平行四边形. 【变式2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：由题 ... ...
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