第02讲 平面向量的线性运算 课程标准 学习目标 熟练运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则及其几何意义进行向量的加法运算； 理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 1. 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算法则,理解其几何意义； 2. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 3.了解平面向量的线性运算率及其应用； 4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义． 知识点01 向量加法的定义及运算法则 1．向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．向量的加法运算法则 （1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作a，b，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＋ 图示： （2）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，作a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则＋a＋b，对角线就是a与b的和. 图示： （3）对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋00＋aa. 【解读】（1）向量加法的三角形法则要注意三点： ①两个向量一定首尾相连； ②和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点； ③当多个向量相加时，可以使用三角形法则． （2）向量加法的平行四边形法则注意两点：①两个非零向量一定要有相同的始点； ②平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向量； 3.三角不等式：向量a，b的模与a＋b，a-b的模之间的关系：|a|-|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 【解读】①当a与b不共线时,a+b的方向与a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。 ②当a与b同向时,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。 ③当a与b反向时,若|a|≥|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。 若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|。 【即学即练1】下列判断错误的是 ( ) A ＋＋ B 任意两个向量的和仍然是一个向量． C 两个向量相加实际上就是两个向量的模相加． D 任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． 2. (多选)在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( ) A． B．＋ C．＋ D．＋ 知识点02 向量加法的运算律 （1）交换律：a＋bb＋a （2）结合律：a＋(b＋c)(a＋b)＋c 【解读】用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算．如＋＋＋＋. 知识点03向量的减法及其几何意义 1.相反向量 (1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)－(－a)a，a＋(－a)(－a)＋a0. (3)零向量的相反向量仍是零向量，即0－0. 2．向量减法的定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法． 我们定义，a－ba＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 3．向量减法的几何意义 (1)三角形法则 如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作a，b，则a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义． (2)平行四边形法则 如图①，设向量b，a，则－b，由向量减法的定义，知a＋(－b)a－b. 又因为b＋a，所以a－b. 如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则： 在 ABCD中，a，b，则a＋b，a－b. 【解读】（1）两个向量的差仍是一个向量； （2）向量的减法可以转化为向量的加法,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。 （3）向量减法的三角形法则中，表示，强调了差向量的“箭头”指向被减向量.即作非零向量，的差向量，可以简记为“共起点，连终点，指被减” 【即学即练2】（1.（多选）下列判断正确的是( ) A相反向量一定是共线向量． B两个相反向量之差等于0. C向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． D两个向量的差仍是一个向量． 2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( ) A．0 B． C． D．0 知识点04向量的数乘运算及运算律 1．向量数乘 ... ...
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