第05讲 正态分布 课程标准 学习目标 1．通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量． 2．通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征． 3．了解正态分布的均值、方差及其含义． 1．理解正态分布概念． 2．掌握正态分布的定义，会利用正态分布解决实际问题． 3．了解正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率． 知识点01 正态曲线 1．定义：函数φ(x)的解析式中含有μ和σ两个参数，其中：μE(X)，即X的均值；σ，即X的标准差．一般地，φ(x)对应的图像称为正态曲线(也因形状之故而被称为“钟形曲线”，φ(x)也常常记为φμ，σ(x)). 2．性质 (1)正态曲线关于xμ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线与x轴所围成的图形的面积为1； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”． 【解读】(1)正态曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线在xμ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，其图像“中间高，两边低”； (3)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (4)正态曲线完全由变量μ和σ确定，参数μ是反映随机变量的平均水平的特征数，所以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 【即学即练1】 （1）若f(x)e，x∈R，则f(x)( ) A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，但无最小值 C．无最大值，也无最小值 D．有最小值，但无最大值 （2）正态分布密度函数为φμ，σ(x)e，x∈(－∞，＋∞)，则总体的均值和标准差分别是( ) A．0和8 B．0和4 C．0和2 D．0和 知识点02 正态分布 1．定义及表示：一般地，如果随机变量X落在区间[a，b]内的概率，总是等于φμ，σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a，b]内围成的面积，则称X服从参数为μ和σ的正态分布，记作X～N(μ，σ2)，此时φμ，σ(x)称为X的概率密度函数．更进一步的研究表明，此时μ是X的均值，而σ是X的标准差，σ2是X的方差． 【解读】参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计． 2．正态分布的几个常用数据：如果X～N(μ，σ2)，那么 P(X≤μ)P(X≥μ)70%， P(|X－μ|≤σ)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%， P(|X－μ|≤2σ)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%， P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%. 【解读】式子中X的取值是否包括端点不影响概率的值．一般考试时会给出相关数据，做题目时以题目给出的数据为准． 3.3σ原则 由P(|X－μ|≤3σ)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%可知，X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内，也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件)，这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”． 【解读】对小概率事件的理解： (1)小概率事件是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的； (2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.3%犯错的可能． 【即学即练2】关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是_____．(填序号) ①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件； ②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件； ③随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件； ④随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件． 知识点03 标准正态分布 1．定义：μ0且σ1的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着 ... ...
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