第06讲 一元线性回归模型 课程标准 学习目标 1．理解散点图、线性相关、正相关、负相关的概念． 2．理解并掌握回归直线方程的概念和性质，会求线性相关的两个变量的回归直线方程． 3．理解并掌握相关系数的概念及性质，并能判断两个变量之间线性相关性的强弱． 4．了解非线性回归的相关概念． 1．通过对数据的分析、统计，培养数据分析等核心素养． 2．借助变量间相关关系的研究，提升数学抽象、数学运算等核心素养． 3．借助求回归直线方程和相关系数，培养学生数学建模、数据分析及数学运算等核心素养． 知识点01 变量的相关关系 1．两个变量的关系 (1)一类是两变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了． (2)另一类是变量之间具有一定的关系，但没有达到可以相互决定的程度．它们之间的关系带有一定的随机性，这些两个变量之间的关系，在统计学上都称为相关关系． 【解读】相关关系与函数关系的异同： 关系 异同点 函数关系 相关关系 相同点 两者均是两个变量之间的关系 不同点 是一种确定性关系 是一种非确定性关系 是一种因果关系 不一定是因果关系，也可能是伴随关系 是一种理想的关系 是更为一般的情况 3.散点图 (1)概念：一般地，如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据)，如下表所示： 序号i 1 2 3 … n 变量x x1 x2 x3 … xn 变量y y1 y2 y3 … yn 则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi，yi)，i1，2，3，…，n，就可以得到这n对数据的散点图． (2)作用：散点图展示了样本点散布的位置．根据散点图中点的分布趋势分析两个变量之间的关系，可直观地判断并得出结论． 【解读】 (1)散点图具有直观、简明的特点，我们可以根据散点图来判断两个变量有没有相关关系； (2)通过散点图不但可以判断测量值的大小、变动范围与整体趋势，还可以通过观察剔除异常数值，提高估计相关程度的准确性； (3)当所画的散点图的横坐标与纵坐标所对应的数据差距很大时，可在实际作图时，将横坐标与纵坐标取不同的单位长度，使画出的散点图形象、美观． 3．线性相关正相关、负相关 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知，变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则称x与y线性相关．此时，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关． 【即学即练1】)两个变量成正相关的是( ) A．汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程 B．平均日学习时间和平均学习成绩 C．某人每日吸烟量和其身体健康情况 D．汽车的重量和百公里耗油量 【答案】CD 【解析】其中A，C成负相关关系，B，D成正相关关系，故选B，D. 知识点02 回归直线方程 1．回归直线方程的概论 一般地，已知变量x与y的n对成对数据(xi，yi)，i1，2，3，…，n.任意给定一个一次函数ybx＋a，对每一个已知的xi，由直线方程可以得到一个估计值ibxi＋a，如果一次函数x＋能使(1－y1)2＋(2－y2)2＋…＋(n－yn)2(yi－i)2取得最小值，则yx＋称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). 2．最小二乘法 上述求回归直线方程的过程中需使得平方和最小，所以其中涉及的方法称为最小二乘法． 可以证明，给定两个y与x的一组数据之后，回归直线方程x＋总是存在的，而且 ，=. 其中，称为回归系数．它实际上也就是回归直线方程的斜率．回归直线方程确定之后，就可用于预测． 需要注意的是，上述公式中，指的是x1，x2，x3，…，xn的平均数，即(x1＋x2＋…＋xn)；类似地，是y1，y2，y3，…，yn的平均数，即. 【解读】(1)回归直线一定过点(，)； (2)y与x正相关的充要条件是>0；y与x负相关的充要条件是<0； (3)当x增大一个单位时，增大个单位，这就是回归 ... ...
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