第01讲 条件概率与事件的独立性 课程标准 学习目标 1.了解条件概率的概念，掌握求条件概率的两种方法，能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题； 2.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率，结合古典概型，会利用全概率公式计算概率．了解贝叶斯公式； 3.理解两个事件相互独立的概念，掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式. 1.掌握条件概率的意义并能利用条件概率公式处理实际问题； 2.能从条件概率的定义推导乘法公式，会应用乘法公式计算概率，理解全概率公式，学会利用全概率公式与贝叶斯公式计算概率． 3.会判断事件的独立性，并能利用公式求解实际问题. 知识点01 条件概率 1.条件概率的定义 （1）一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B). （2）条件概率的求法： （1）定义法：； （2）缩小样本空间法：． 2．条件概率的性质 （1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1． （2）P(A|A)1. （3）如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)P(B|A)＋P(C|A)． （4）设与B互为对立事件，则P(|A)1－P(B|A). 【即学即练1】 1.（多选）下面几种概率不是条件概率的是( ) A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下，乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【答案】ACD 【解析】由条件概率的定义知B为条件概率． 2.若P(AB)，P(A)，则P(B|A)( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由公式得P(B|A). 知识点02乘法公式与全概率公式 1．乘法公式 (1)公式：P(BA)P(A)P(B|A)． (2)公式的推导依据：P(B|A)，即根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． 2．全概率公式 (1)公式：P(B)P(A)P(B|A)＋P()P(B|)． (2)公式的推导： 一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且BBΩB(A＋)BA＋B，如图所示， 从而P(B)P(BA＋B)P(BA)＋P(B)． 由乘法公式可得全概率公式P(B)P(A)P(B|A)＋P()P(B|)． 3．全概率公式的推广 若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且． 4．贝叶斯公式(选学) （1）定义：一般地，当且时，有 （2）贝叶斯公式的推广：若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 （3）利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 【即学即练2】 1．已知P(B)，P(A|B)，则P(AB)( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由乘法公式得，P(AB)P(B)P(A|B) ×. 2．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( ) A．0.012 3 B．0.023 4 C．0.034 5 D．0.045 6 【答案】D 【解析】本题为简单的全概率公式的应用，从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.020.034 5. 知识点03独立性与条件概率的关系 1、当P(B)＞0时，事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A|B)P(A)． 这就是说，此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等．也就是事件B的发生，不会影响事件A发生的概率． 2、判断事件是否相互独立的方法： （1）定义法：事件，相互独立的充要条件是． （2）由事件本身的性质直接判断两个事件的 ... ...
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