一、三角函数式求值 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、和差化积与积化和差公式的正用、逆用以及推论的应用. 2.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例1 (1)的值为( ) A.- B. C. D.- (2)已知α，β为锐角，cos α=，求cos β的值. 反思感悟 三角函数式求值主要有三种类型 (1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式. (2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.要注意角的范围. (3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围. 跟踪训练1 (1)设α为钝角，且3sin 2α=cos α，则sin α= . (2)已知sin的值. 二、三角函数式的化简与证明 1.掌握两角和与差公式的正用、逆用以及倍角、半角公式的应用. 2.通过三角函数式的化简与证明，培养逻辑推理和数学运算素养. 例2 化简：. 跟踪训练2 求证： . 三、三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用 1.三角函数与三角恒等变换的综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式、辅助角公式对三角函数式进行化简，最终化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k的形式，再研究三角函数的性质.当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角函数形式，再运用三角恒等变换进行求解. 2.通过三角恒等变换与三角函数、向量的综合运用培养逻辑推理和数学运算素养. 例3 已知向量a=(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，|a-b|=. (1)求cos(α-β)的值； (2)若-，求sin α的值. 跟踪训练3 已知函数f(x)=cossin xcos x. (1)化简f(x)； (2)若f(α)=，2α是第一象限角，求sin 2α. 四、三角恒等变换的实际应用 1.建立关于三角函数的数学模型、利用三角恒等变换化简，运用三角函数的性质进行求解. 2.通过三角恒等变换的实际应用，提升学生数学建模和数学运算的能力. 例4 如图，将一块圆心角为120°，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法，让矩形一边在扇形的半径OA上(如图①)或让矩形一边与弦AB平行(如图②)，请问哪种裁法得到的矩形的最大面积最大？请求出这个最大值. 跟踪训练4 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使△OAB的周长最长？ 答案精析 例1 (1)B (2)解 ∵α是锐角，cos α=， ∴sin α=. ∴tan β=tan［α-(α-β)］ =. ∵β是锐角， ∴由. 跟踪训练1 (1) (2)解 ∵sin， ∴sin， ∴sin. 又α∈， ∴2α∈(π，2π)， ∴sin 2α=- =- . ∴ =. 例2 解 原式 = = =cos 2x. 跟踪训练2 证明 左边= = = ==右边. 所以原等式成立. 例3 解 (1)因为向量a=(cos α，sin α)， b=(cos β，sin β)， |a-b|= =， 所以2-2cos(α-β)=， 所以cos(α-β)=. (2)因为0<α<<β<0， 所以0<α-β<π， 因为cos(α-β)=， 所以sin(α-β)=， 所以sin α=sin［(α-β)+β］ =sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =. 跟踪训练3 解 (1)f(x)=. (2)由(1)得f(α)=sin， ∵2α是第一象限角， 即2kπ<2α<+2kπ(k∈Z)， ∴2kπ-+2kπ(k∈Z)， ∴cos， ∴sin 2α=sin= sin =. 例4 解 对于题干图①，MN=20sin θ， ON=20cos θ， 所以S1=ON·MN=400sin θcos θ=200sin 2θ. 所以当sin 2θ=1，即θ=45°时， (S1)max=200(cm2). 对于题干图②，MQ=40sin(60°-α)， MN=20cos(60°-α)-sin α， 所以S2=MN·MQ =. 因为0°<α<60°， 所以-60°<2α-60°<60°. 所以当cos(2α-60°)=1， 即2α-60°=0°， 即α ... ...
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