2.2 等差数列的前n项和（课件+学案+练习，6份打包）北师大版（2019）选择性必修 第二册

2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习目标]　1.掌握等差数列前n项和公式，并理解其推导过程.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an. 一、等差数列前n项和的基本运算 问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花. 深浅，　　　　　 芬葩. 凝为雪，　　　　 错为霞. 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮. 已迷金谷路，　　 频驻玉人车. 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家. 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯. 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 问题2　对于一般的等差数列，如何利用倒序相加法求它的前n项和？其理论依据是什么？ 知识梳理 等差数列前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn= Sn=na1+d 例1　在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn. (1)已知a1=，S4=20，求S6； (2)已知a3=16，S20=20，求S10； (3)已知a1=，d=-，Sn=-15，求n及a12； (4)已知a14=10，求S27. 反思感悟　等差数列前n项和公式应用的关注点 (1)在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn=较简便；若已知首项a1及公差d用公式Sn=na1+d较好. (2)在运用公式Sn=求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N+且m+n=p+q am+an=ap+aq”的运用. (3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二. 二、等差数列前n项和的实际应用 例2　某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元. (1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？ (2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？ 反思感悟　应用等差数列解决实际问题的一般思路 跟踪训练1　某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如表所示. 2021年 2022年 2023年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 而一旦植完，则不会被沙化. (1)每年沙化的土地公顷数为多少？ (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地？ 三、Sn与an的关系 问题3　(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ (2)二次函数形式Sn=An2+Bn+C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？ (3)数列{an}中，Sn与Sn-1(n≥2)有何关系？ 知识梳理 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an= 例3　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 延伸探究　本例若把数列{an}的前n项和变为Sn=2n2+3n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 反思感悟　等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn=An2+Bn，那么数列{an}一定是等差数列. 跟踪训练2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n，求an. (2)已知正数数列{bn}的前n项和Sn=(bn+1)2，求证{bn}为等差数列，并求其通项公式. 1.知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式. (2)等差数列前n项和在实际问题中的应用. (3)由Sn与an的关系求an. 2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论. 1.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7等于 (　　) A.12 B.13 C.14 D.15 2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S ... ...