3.2 等比数列的前n项和（课件+学案+练习，6份打包）北师大版（2019）选择性必修 第二册

3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 一、等比数列前n项和公式的基本运算 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 知识梳理 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn= Sn= 例1　求下列等比数列前8项的和： (1)，，，…； (2)a1=27，a9=，q<0. 反思感悟　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q=1是否成立. 跟踪训练1　若等比数列{an}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=　　　　，前n项和Sn=　　　　. 二、等比数列前n项和公式的综合应用 问题2　等比数列的前n项和公式中涉及哪几个相关量？在这几个相关量中，已知其中几个相关量可以求出其他量？ 例2　已知一个等比数列{an}，a1+a3=10，a4+a6=，求a4和前5项和S5. 反思感悟　等比数列前n项和公式的运算 当q=1时，等比数列是常数列，所以Sn=na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式.当已知a1，q与n时，用Sn=比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn=比较方便. 跟踪训练2　在等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sm=63，求m. 三、等比数列前n项和公式的实际应用 例3　一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ 反思感悟　解答等比数列前n项和公式的实际应用问题的注意事项 (1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型. (2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释. (3)实际问题解答完成后一定要有结论. 跟踪训练3　《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么此人第一天所走路程里数为 (　　) A.96 B.126 C.192 D.252 1.知识清单： (1)等比数列前n项和公式. (2)等比数列的前n项和公式的应用. 2.方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论法. 3.常见误区： (1)忽略q=1的情况而致错. (2)忽略对参数的讨论. 1.等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则S6等于(　　) A.-63 B.31 C.-31 D.63 2.古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为(　　) A. B. C. D. 3.在等比数列{an}中，a1=2，S3=26，则公比q=　　　　　　　. 4.在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn=126，则n=　　　　. 答案精析 问题1　因为Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an， 所以Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-2+a1qn-1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-1+a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn-qSn=a1-a1qn， 即(1-q)Sn=a1(1-qn)，当q≠1时，有Sn=，而当q=1时，Sn=na1. 例1　解　(1)因为a1=，q=， 所以S8==. (2)由a1=27 ... ...